Um curso de treinamento aumenta a produtividade em 80 por cento dos casos. Para um grupo de 10 funcionários que participaram desse curso encontre a probabilidade:
- a) De sete funcionários aumentarem a produtividade.
- b) Pelo menos dois funcionários terem aumentado a produtividade.
- c) Qual é a média do número de funcionários que aumentam a produtividade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de aumento de produtividade de funcionários após um curso de treinamento. Sabemos que, nesse caso, a probabilidade de sucesso (aumentar a produtividade) é de 80% para cada funcionário. Vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para situações em que temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou falha). Precisamos saber o número de funcionários (10), a probabilidade de sucesso (0,8) e a probabilidade de falha (0,2).
Passo 2
a) Probabilidade de sete funcionários aumentarem a produtividade.
A probabilidade binomial é dada pela fórmula:
Onde:
- $ n = 10 $ (número de funcionários)
- $ k = 7 $ (número de sucessos que queremos)
- $ p = 0,8 $ (probabilidade de sucesso)
- $ 1-p = 0,2 $ (probabilidade de falha)
Primeiro, calculamos o número de combinações possíveis de 7 sucessos em 10:
Agora, aplicamos na fórmula:
Calculando os valores:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 20,13%.
Passo 3
b) Probabilidade de pelo menos dois funcionários terem aumentado a produtividade.
“Pelo menos dois” significa que queremos a probabilidade de 2 ou mais funcionários terem tido sucesso. Para facilitar, vamos calcular o complemento disso, ou seja, a probabilidade de menos de dois funcionários (0 ou 1) terem tido sucesso, e então subtrair de 1.
Primeiro, calculamos $ P(X = 0) $:
Em seguida, calculamos $ P(X = 1) $:
Somando $ P(X = 0) + P(X = 1) $:
Agora, subtraímos de 1 para obter $ P(X \geq 2) $:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 99,9996%.
Passo 4
c) Média do número de funcionários que aumentam a produtividade.
A média $ \mu $ em uma distribuição binomial é calculada por:
Onde:
- $ n = 10 $
- $ p = 0,8 $
Então:
A média é de 8 funcionários que aumentam a produtividade.
Resposta
a) A probabilidade de sete funcionários aumentarem a produtividade é aproximadamente 20,13%.
b) A probabilidade de pelo menos dois funcionários terem aumentado a produtividade é de aproximadamente 99,9996%.
c) A média do número de funcionários que aumentam a produtividade é 8.