O tempo em minutos de digitação de um texto pode ser considerado uma variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade:
Determine:
- a) .
- b) .
- c) A função de distribuição de probabilidade para a variável x.
- d) Um número b tal que .
- e) O valor esperado e a variância de X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua que representa o tempo de digitação de um texto, medido em minutos. A função de densidade dessa variável é definida de forma diferente em certos intervalos de $ x $. Para resolver as questões, precisamos entender conceitos básicos de funções de densidade, probabilidade e distribuição acumulada.
Passo 2
a)
Primeiro, queremos encontrar a probabilidade de que o tempo de digitação seja maior que 3 minutos. Como a função de densidade $ f(x) $ é constante em cada intervalo, podemos integrar $ f(x) $ de 3 até o ponto máximo onde $ f(x) $ é diferente de zero.
Passo 3
b)
Aqui, buscamos a probabilidade de $ X $ estar entre 1 e 4 minutos. Vamos calcular a área sob a curva de $ f(x) $ entre esses pontos, lembrando que $ f(x) $ pode ter diferentes valores em diferentes intervalos.
Passo 4
c) A função de distribuição de probabilidade para a variável X
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é obtida integrando $ f(x) $ desde o mínimo valor de $ X $ até um valor qualquer $ x $. Vamos construir $ F(x) $ para todos os intervalos de $ x $.
Passo 5
d) Um número b tal que
Precisamos encontrar o valor de $ b $ que satisfaz a condição de que a probabilidade de $ X $ ser maior que $ b $ é 0,6. Isso significa que $ \mathrm{P}(X \leq b) = 0,4 $, então vamos usar a função $ F(x) $ para encontrar esse valor.
Passo 6
e) O valor esperado e a variância de X
Para calcular o valor esperado $ E[X] $, usamos a integral de $ x \cdot f(x) $ sobre todo o intervalo de $ X $. A variância $ Var(X) $ é calculada como $ E[X^2] - (E[X])^2 $, onde $ E[X^2] $ é a integral de $ x^2 \cdot f(x) $.
Resposta
a)
b)
c) A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é:
Simplificando:
F(x) = 0, & x < 1 14(x - 1), & 1 <= x < 2 14(2 - 1) + 18(x - 2), & 2 <= x < 6 1, & x >= 6
d) O número $ b $ tal que F(x) = 0, & x < 1 14(x - 1), & 1 <= x < 2 14 + 18(x - 2), & 2 <= x < 6 1, & x >= 6 é $ b = 3 $
e) Valor esperado e variância de $ X $:
Calculando $ E[X] $:
b
P(X>b)=0,6
Calculando $ E[X^2] $:
b = 3
X
Então, a variância:
E[X]
Resposta Final:
a) $ \mathrm{P}(\mathrm{X}>3) = \frac{3}{8} $
b) $ \mathrm{P}(1<\mathrm{X} \leq 4) = \frac{1}{2} $