O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por base experimentos em animais. Um paciente que esteja sofrendo dor recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se:
  • a) Qual é a probabilidade de a dor cessar em até 10 minutos?
  • b) E de Demorar pelo menos 12 minutos?
  • c) Qual o tempo esperado para o medicamento fazer efeito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o tempo que um remédio para dor leva para fazer efeito. Esse tempo segue uma distribuição uniforme entre 5 e 15 minutos, ou seja, qualquer tempo dentro desse intervalo é igualmente provável. Para resolver as questões, vamos precisar entender o que é distribuição uniforme e como calcular probabilidades e o valor esperado (tempo médio esperado) nessa distribuição.

Passo 2

a) Qual é a probabilidade de a dor cessar em até 10 minutos?
Primeiro, vamos lembrar que na distribuição uniforme, a probabilidade de um evento ocorrer dentro de um intervalo específico é proporcional ao tamanho desse intervalo. Aqui, o intervalo total é de 5 a 15 minutos, ou seja, 15 - 5 = 10 minutos.
Queremos a probabilidade de o remédio agir em até 10 minutos, ou seja, entre 5 e 10 minutos. O tamanho desse intervalo é 10 - 5 = 5 minutos.
Então, a probabilidade é:
P(X <= 10) = tamanho do intervalo desejadotamanho do intervalo total = 510 = 0,5 ou 50%

Passo 3

b) E de Demorar pelo menos 12 minutos?
Agora, queremos a probabilidade de o remédio demorar pelo menos 12 minutos, ou seja, entre 12 e 15 minutos. O tamanho desse intervalo é 15 - 12 = 3 minutos.
Usando a mesma lógica da distribuição uniforme:
P(X >= 12) = tamanho do intervalo desejadotamanho do intervalo total = 310 = 0,3 ou 30%

Passo 4

c) Qual o tempo esperado para o medicamento fazer efeito?
O tempo esperado ou valor esperado em uma distribuição uniforme é a média dos limites do intervalo. Basicamente, é o ponto médio entre 5 e 15 minutos.
A fórmula para o valor esperado $ E[X] $ na distribuição uniforme é:
E[X]
Onde $ a = 5 $ minutos e $ b = 15 $ minutos.
Calculando:
E[X] = a + b2

Resposta

a) A probabilidade de a dor cessar em até 10 minutos é 50%.
b) A probabilidade de o remédio demorar pelo menos 12 minutos é 30%.
c) O tempo esperado para o medicamento fazer efeito é 10 minutos.

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