A função de distribuição para uma variável aleatória X é dada por:
- a) Qual é a função de probabilidade de X?
- b) Calcule P(-5 <= X<15).
- b) Calcule P(X>10).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada (F(x)) de uma variável aleatória X. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a função de probabilidade de X.
b) Calcular a probabilidade de X estar entre -5 e 15, ou seja, $ P(-5 \leq X < 15) $.
c) Calcular a probabilidade de X ser maior que 10, ou seja, $ P(X > 10) $.
Para isso, vamos precisar entender a diferença entre a função de distribuição acumulada e a função de probabilidade, além de saber como calcular probabilidades em intervalos usando a distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (F(x)). Ela nos dá a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a um certo valor x. Ou seja:
F(x) = P(X <= x)
Já a função de probabilidade (também chamada de função massa de probabilidade para variáveis discretas) nos dá a probabilidade de X ser exatamente igual a um valor específico. Para encontrar a função de probabilidade, precisamos ver como F(x) muda em diferentes intervalos.
Passo 3
Vamos construir a função de probabilidade $ P(X = x) $ observando os saltos na função de distribuição acumulada F(x). Sempre que F(x) aumenta, essa diferença corresponde à probabilidade de X assumir aquele valor.
Vamos analisar os intervalos dados:
Para $ x < -5 $, $ F(x) = 0 $. Não há probabilidade aqui.
De $ -5 \leq x < 5 $, $ F(x) = 0,1 $. Isso significa que há um aumento de 0,1 em F(x) nesse intervalo. Portanto:
P(X = x)
De $ 5 \leq x < 10 $, $ F(x) = 0,2 $. O aumento aqui é 0,2 - 0,1 = 0,1. Então:
x < -5
De $ 10 \leq x < 15 $, $ F(x) = 0,4 $. O aumento é 0,4 - 0,2 = 0,2. Assim:
F(x) = 0
Para $ x \geq 15 $, $ F(x) = 1 $. O aumento é 1 - 0,4 = 0,6. Portanto:
-5 <= x < 5
Passo 4
Agora que temos a função de probabilidade, vamos organizá-la:
P(X = x) = 0,1 & se x = -5 0,1 & se x = 5 0,2 & se x = 10 0,6 & se x = 15 0 & caso contrário á
Passo 5
Vamos para a parte b) calcular $ P(-5 \leq X < 15) $.
Sabemos que:
P(-5 <= X < 15)
Onde $ F(b-) $ é o limite de F(x) quando x se aproxima de b pela esquerda, e $ F(a-) $ é o limite de F(x) quando x se aproxima de a pela esquerda.
No nosso caso:
P(a <= X < b) = F(b-) - F(a-)
F(b-)
Então:
F(a-)
a = -5
Portanto:
b = 15
Passo 6
Agora, na parte c), vamos calcular $ P(X > 10) $.
Sabemos que:
P(X > 10)
E $ P(X \leq 10) = F(10) = 0,4 $.
Então:
P(X > 10) = 1 - P(X <= 10)
Resposta
a) A função de probabilidade de X é:
P(X = x) = 0,1 & se x = -5 0,1 & se x = 5 0,2 & se x = 10 0,6 & se x = 15 0 & caso contrário á