Suponha que as requisições a um sistema ocorram de forma independente e que a taxa média de ocorrências é três requisições por minuto, constante no período em estudo. Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto;
b) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo-se que é certa a ocorrência de pelo menos uma (pois, você mesmo fará uma requisição no próximo minuto).
a) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto;
b) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo-se que é certa a ocorrência de pelo menos uma (pois, você mesmo fará uma requisição no próximo minuto).
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre probabilidades envolvendo requisições que chegam a um sistema. A gente vai usar o conteúdo de Distribuição de Poisson, que é ótima para modelar eventos que acontecem de forma independente em um determinado intervalo de tempo. Precisamos calcular a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, e também essa probabilidade sabendo que já vai ter pelo menos uma requisição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos. -
é a taxa média de ocorrências no intervalo de tempo. -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828). -
é o fatorial de .
Passo 3
No nosso caso, a taxa média
é de 3 requisições por minuto. Queremos calcular a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, ou seja,
.
Para isso, primeiro vamos calcular a probabilidade de ocorrer 0 ou 1 requisição e depois subtrair isso de 1 para encontrar a probabilidade de ocorrer mais que uma.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, somamos as probabilidades de 0 e 1 requisição:
Então, a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição é:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Sabemos que
Então:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b, onde queremos a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo que já vai ter pelo menos uma. Isso é uma probabilidade condicional:
.
Passo 8
A fórmula da probabilidade condicional é:
No nosso caso,
é “ocorrer mais que uma requisição” e
é “ocorrer pelo menos uma requisição”. Como se
já implica em
, temos:
Passo 9
Sabemos que:
Então:
Resposta
a) A probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto é aproximadamente 80,08%.
b) A probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo que já vai ter pelo menos uma, é aproximadamente 84,37%.