Suponha que as requisições a um sistema ocorram de forma independente e que a taxa média de ocorrências é três requisições por minuto, constante no período em estudo. Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto;
b) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo-se que é certa a ocorrência de pelo menos uma (pois, você mesmo fará uma requisição no próximo minuto).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre probabilidades envolvendo requisições que chegam a um sistema. A gente vai usar o conteúdo de Distribuição de Poisson, que é ótima para modelar eventos que acontecem de forma independente em um determinado intervalo de tempo. Precisamos calcular a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, e também essa probabilidade sabendo que já vai ter pelo menos uma requisição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a taxa média de ocorrências no intervalo de tempo.
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, a taxa média é de 3 requisições por minuto. Queremos calcular a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, ou seja, .
Para isso, primeiro vamos calcular a probabilidade de ocorrer 0 ou 1 requisição e depois subtrair isso de 1 para encontrar a probabilidade de ocorrer mais que uma.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades de 0 e 1 requisição:
Então, a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição é:

Passo 6

Calculando o valor numérico:
Sabemos que
Então:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b, onde queremos a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo que já vai ter pelo menos uma. Isso é uma probabilidade condicional: .

Passo 8

A fórmula da probabilidade condicional é:
No nosso caso, é “ocorrer mais que uma requisição” e é “ocorrer pelo menos uma requisição”. Como se já implica em , temos:

Passo 9

Sabemos que:
Então:

Resposta

a) A probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto é aproximadamente 80,08%.
b) A probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo que já vai ter pelo menos uma, é aproximadamente 84,37%.

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