Suponha que as requisições a um sistema ocorram de forma independente e que a taxa média de ocorrências é três requisições por minuto, constante no período em estudo. Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto;
b) ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo-se que é certa a ocorrência de pelo menos uma (pois, você mesmo fará uma requisição no próximo minuto).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre probabilidades envolvendo requisições que chegam a um sistema. A gente vai usar o conteúdo de Distribuição de Poisson, que é ótima para modelar eventos que acontecem de forma independente em um determinado intervalo de tempo. Precisamos calcular a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, e também essa probabilidade sabendo que já vai ter pelo menos uma requisição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a taxa média de ocorrências no intervalo de tempo.
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, a taxa média é de 3 requisições por minuto. Queremos calcular a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, ou seja, .
Para isso, primeiro vamos calcular a probabilidade de ocorrer 0 ou 1 requisição e depois subtrair isso de 1 para encontrar a probabilidade de ocorrer mais que uma.

Passo 4

Calculando P(0) = 3^0 e^-30! = 1 cdot e^-31 = e^-3 :
P(1) = 3^1 e^-31! = 3 cdot e^-31 = 3e^-3
Calculando :

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades de 0 e 1 requisição:
P(N <= 1) = P(0) + P(1) = e^-3 + 3e^-3 = 4e^-3
Então, a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição é:
P(N > 1) = 1 - P(N <= 1) = 1 - 4e^-3

Passo 6

Calculando o valor numérico:
Sabemos que P(N > 1) = 1 - 4 times 0,0498 = 1 - 0,1992 = 0,8008
Então:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b, onde queremos a probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo que já vai ter pelo menos uma. Isso é uma probabilidade condicional: .

Passo 8

A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A | B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, P(N > 1 | N >= 1) = P(N > 1)P(N >= 1) = P(N > 1)1 - P(N = 0) é “ocorrer mais que uma requisição” e é “ocorrer pelo menos uma requisição”. Como se já implica em , temos:

Passo 9

Sabemos que:
P(N > 1) = 0,8008 P(N = 0) = 0,0498 P(N >= 1) = 1 - P(N = 0) = 0,9502
Então:
P(N > 1 | N >= 1) = 0,80080,9502 approx 0,8437

Resposta

a) A probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto é aproximadamente 80,08%.
b) A probabilidade de ocorrer mais que uma requisição no próximo minuto, sabendo que já vai ter pelo menos uma, é aproximadamente 84,37%.

Exercícios relacionados