Um cerâmica embala caixas contendo 100 azulejos ( 15 times 15 cm ). Os pesos destes azulejos distribuem-se normalmente com média de 200 gramas e variância de 100 gramas ^2. As caixas utilizadas para a embalagem apresentam o seu peso praticamente constante e igual a 180 gramas.
b) Se um caminhão vai transportar 1000 caixas, sabendo que o peso máximo permitido para a carga na rodovia em que vai transitar é de 22 toneladas, qual é a probabilidade de que atenda esta especificação? (R.: 0,9656)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o peso das caixas que contêm azulejos e queremos descobrir a probabilidade de que 1000 caixas não ultrapassem o peso máximo de 22 toneladas permitidas na rodovia. Vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o peso de uma única caixa. Cada caixa tem 100 azulejos, cada um pesando, em média, 200 gramas com uma variância de 100 gramas². Além disso, a caixa em si pesa 180 gramas.
Média do peso dos azulejos por caixa:
muazu<=jos = 100 times 200 = 20,000 gramas
Variância do peso dos azulejos por caixa:
sigma^2azu<=jos = 100 times 100 = 10,000 gramas^2
Agora, adicionamos o peso da caixa:
mucaixa = 20,000 + 180 = 20,180 gramas
A variância da caixa continua sendo 10.000 gramas², já que o peso da caixa não varia.

Passo 3

Vamos considerar agora as 1000 caixas que serão transportadas. Queremos saber a soma total do peso dessas caixas.
Média total das 1000 caixas:
mutotal = 1000 times 20,180 = 20,180,000 gramas
Variância total das 1000 caixas:
sigma^2total = 1000 times 10,000 = 10,000,000 gramas^2
Desvio padrão total:

Passo 4

O peso máximo permitido é de 22 toneladas, que é igual a 22.000.000 gramas. Queremos encontrar a probabilidade de que o peso total das 1000 caixas seja menor ou igual a esse valor.
Para isso, usamos a fórmula do Z-score:
Z = X - musigma
onde:
  • $ X = 22{,}000{,}000 $ gramas
  • $ \mu = 20{,}180{,}000 $ gramas
  • $ \sigma = 3{,}162 $ gramas
Substituindo:
X = 22,000,000

Resposta

A probabilidade de que o caminhão transporte as 1000 caixas sem exceder o peso máximo de 22 toneladas é de aproximadamente 0,9656 ou 96,56%.

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