Se
. Calcular:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal, representada por $ X \sim N(50, 25)
\mu $) de $ X $ é 50 e a variância ($ \sigma^2
\sigma $), que nesse caso é 5. Nosso objetivo é calcular duas probabilidades:
- $ P[X > 62] $
- $ P\left[|X - 50| < 8\right] $
Vamos por partes!
Passo 2
Vamos calcular $ P[X > 62] $. Primeiro, precisamos transformar esse valor numa “pontuação Z”, que é uma forma de padronizar a variável normal para facilitar os cálculos. A fórmula para transformar $ X $ em $ Z $ é:
Aplicando os valores:
Agora, queremos saber a probabilidade de $ Z $ ser maior que 2,4, ou seja, $ P[Z > 2,4] $. Essa probabilidade representa a área sob a curva normal à direita de $ Z = 2,4 $.
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular $ P\left[|X - 50| < 8\right] $. Esse intervalo significa que $ X $ está entre 42 e 58:
Vamos transformar esses valores em pontuações $ Z $:
Para $ X = 42 $:
Para $ X = 58 $:
Então, queremos a probabilidade de $ Z $ estar entre -1,6 e 1,6, ou seja:
Como a distribuição normal é simétrica, podemos calcular:
Consultando a tabela ou a calculadora:
Então,
Isso significa que há aproximadamente 89,04% de chance de $ X $ estar entre 42 e 58.