Se X sim N(50,25). Calcular: P[X>62] e P[|X-50|<8].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal, representada por $ X \sim N(50, 25) X é \mu $) de $ X $ é 50 e a variância ($ \sigma^2 X sim N(50, 25) éâéã \sigma $), que nesse caso é 5. Nosso objetivo é calcular duas probabilidades:
  1. $ P[X > 62] $
  2. $ P\left[|X - 50| < 8\right] $
Vamos por partes!

Passo 2

Vamos calcular $ P[X > 62] $. Primeiro, precisamos transformar esse valor numa “pontuação Z”, que é uma forma de padronizar a variável normal para facilitar os cálculos. A fórmula para transformar $ X $ em $ Z $ é:
P[X > 62]
Aplicando os valores:
X
Agora, queremos saber a probabilidade de $ Z $ ser maior que 2,4, ou seja, $ P[Z > 2,4] $. Essa probabilidade representa a área sob a curva normal à direita de $ Z = 2,4 $.
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Z
Então,
Z = X - musigma

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P\left[|X - 50| < 8\right] $. Esse intervalo significa que $ X $ está entre 42 e 58:
P[|X - 50| < 8]
Vamos transformar esses valores em pontuações $ Z $:
Para $ X = 42 $:
X
Para $ X = 58 $:
42 < X < 58
Então, queremos a probabilidade de $ Z $ estar entre -1,6 e 1,6, ou seja:
Z
Como a distribuição normal é simétrica, podemos calcular:
X = 42
Consultando a tabela ou a calculadora:
Z = 42 - 505 = -85 = -1,6
X = 58
Então,
Z = 58 - 505 = 85 = 1,6
Isso significa que há aproximadamente 89,04% de chance de $ X $ estar entre 42 e 58.

Resposta

P[X > 62] approx 0,82% e P[|X - 50| < 8] approx 89,04%

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