Para cercar uma área retangular de 60 m², João pretendia utilizar 22 metros de cerca. Em um dos lados desta área retangular, havia uma parede, o que dispensava a necessidade de utilizar a tela neste lado. Para resolver esse problema, e encontrar um comprimento x adequado para a cerca, João montou a seguinte equação: Determine os dois valores possíveis para o comprimento de x, de tal modo que se possa cercar 60 m².
a. x1 = 5 e x2 = 12 -
b. x1 = 4 e x2 = 15
c. x1 = 5 e x2 = 6
d. x1 = 6 e x2 = 10
e. x1 = 1 e x2 = 11
a. x1 = 5 e x2 = 12 -
b. x1 = 4 e x2 = 15
c. x1 = 5 e x2 = 6
d. x1 = 6 e x2 = 10
e. x1 = 1 e x2 = 11
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O João quer cercar uma área retangular de 60 metros quadrados (m²) usando 22 metros de cerca. Porém, um dos lados desse retângulo já tem uma parede, então ele não precisa usar cerca nesse lado. Nosso objetivo aqui é encontrar dois valores possíveis para o comprimento $ x $ da cerca que João vai usar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é calculada multiplicando-se o comprimento pela largura. Assim, temos:
Aqui, $ x $ é o comprimento que queremos encontrar, e $ y $ é a largura.
Passo 3
Como João está usando 22 metros de cerca e um dos lados já tem uma parede, ele precisa cercar apenas três lados: dois de largura e um de comprimento. Portanto, a quantidade de cerca usada é:
Agora temos duas equações:
- $ 60 = x \times y $
- $ 22 = 2y + x $
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, isolamos $ x $ na segunda equação:
Agora, substituímos $ x $ na primeira equação:
Passo 5
Rearranjando a equação para forma padrão:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 2 $, $ b = -22 $ e $ c = 60 $.
Então, temos duas soluções para $ y $:
Passo 7
Agora que temos os valores de $ y $, podemos encontrar $ x $ usando a equação $ x = 22 - 2y $:
Para $ y = 6 $:
Para $ y = 5 $:
Resposta
A alternativa correta é a d. $ x_1 = 6 $ e $ x_2 = 10 $.