Dado o plano π de equação x-y+z+4=0 e, sabendo que os pontos A(0,0,¬4), B(1,0,¬5) e C(0,1,¬3), são pontos não alinhados de π, um sistema de equações paramétricas de π é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o plano $ \pi $ com a equação $ x - y + z + 4 = 0 $, e três pontos nesse plano: $ A(0,0,-4) $, $ B(1,0,-5) $ e $ C(0,1,-3) $. O exercício pede para escrever um sistema de equações paramétricas para esse plano. Isso significa que vamos expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de dois parâmetros, geralmente chamados de $ s $ e $ t $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como pontos, vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação paramétrica de um plano. Em geral, a equação paramétrica de um plano permite que a gente descreva todos os pontos que pertencem a esse plano usando dois parâmetros livres. Para isso, precisamos de um ponto inicial no plano e de dois vetores que estejam contidos no plano, ou seja, que sejam paralelos a ele.

Passo 3

Vamos escolher um dos pontos dados como ponto inicial. Vamos pegar o ponto $ A(0,0,-4) $. Agora, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano. Podemos encontrar esses vetores usando os outros dois pontos do plano. Calculamos os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $.
Para calcular $ \vec{AB} $:
A(0,0,-4)
Para calcular $ \vec{AC} $:
AB

Passo 4

Agora que temos o ponto $ A $ e os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $, podemos montar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas são dadas por:
A
AB
AC
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto inicial, $ \vec{v} $ e $ \vec{w} $ são os vetores diretores, e $ s $ e $ t $ são os parâmetros.
Substituindo os valores que temos:
x = x0 + s cdot vx + t cdot wx
y = y0 + s cdot vy + t cdot wy
z = z0 + s cdot vz + t cdot wz

Resposta

Um sistema de equações paramétricas para o plano $ \pi $ é:
pi
x = s
y = t
Onde $ s $ e $ t $ são parâmetros livres.

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