Uma certa bola maciça e uniforme atinge uma altura máxima h0 ao rolar de baixo para cima de uma colina, sem deslizar. Que altura máxima (em termos de h0 ) ela atingirá, caso você (a) dobre seu diâmetro, (b) dobre sua massa, © dobre tanto o diâmetro quanto a massa, (d) dobre o módulo da sua velocidade angular na base da colina?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que rola sem deslizar e atinge uma altura máxima em uma colina. Estamos no ramo da Mecânica, especificamente tratando de Energia e Movimento Rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia cinética de translação e rotação se transforma em energia potencial gravitacional quando a bola sobe a colina.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total da bola ao descer é a soma da energia cinética de translação (movimento linear) e da energia cinética de rotação. Quando a bola para na altura máxima, toda essa energia se transforma em energia potencial gravitacional.
A energia cinética de translação é dada por:
Etrans = 12 m v^2
E a energia cinética de rotação é:
Erot = 12 I omega^2
Aqui, é a massa da bola, é a velocidade linear, é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que, para uma bola maciça e uniforme, o momento de inércia I = 25 m r^2 é:
v = omega r
Além disso, como a bola rola sem deslizar, a velocidade linear está relacionada à velocidade angular por:
Isso nos ajuda a relacionar as duas energias.

Passo 4

A energia potencial na altura máxima Epot = m g h é:
Etrans + Erot = Epot
Onde 12 m v^2 + 12 ( 25 m r^2 ) ( vr )^2 = m g h é a aceleração da gravidade.
No ponto inicial, toda a energia é cinética, e na altura máxima, toda a energia se tornou potencial. Então:
12 m v^2 + 15 m v^2 = m g h
Substituindo as expressões:
710 m v^2 = m g h
Simplificando:
710 v^2 = g h
h = 710 v^2g
Cancelando h0 = 710 v0^2g :
Então:
Mas sabemos que originalmente a altura era , então:
Onde é a velocidade inicial.

Passo 5

Agora, vamos analisar cada caso solicitado:
a) Dobrar o diâmetro:
Dobrar o diâmetro significa dobrar o raio I' = 25 m (2r)^2 = 25 m cdot 4r^2 = 85 m r^2 . O momento de inércia depende de :
Aumentando , a energia de rotação aumenta, o que reduz a energia disponível para a altura máxima. A nova altura será menor.
b) Dobrar a massa:
Dobrar a massa afeta tanto a energia cinética quanto a potencial. A nova altura dependerá da relação direta com a massa.
c) Dobrar tanto o diâmetro quanto a massa:
Aqui, ambos os efeitos anteriores se combinam. O momento de inércia será maior e a massa também.
d) Dobrar o módulo da velocidade angular na base da colina:
Dobrar implica dobrar (já que ). Isso afeta diretamente a energia cinética inicial.

Passo 6

Vamos calcular cada caso:
a) Dobrar o diâmetro ( I' = 85 m r^2 ):
710 v'^2 = g ha
Substituindo na equação de energia:
ha = h04
Mas como hb = h0 aumentou, a velocidade hc = h02 diminuirá. Após os cálculos, encontramos que:
v' = 2v
b) Dobrar a massa ( hd = 4h0 ):
A massa na energia potencial aumenta, mas na equação da energia, ela cancela. Logo, a altura máxima permanece a mesma:
c) Dobrar diâmetro e massa ( ):
Com ambas as mudanças, combinamos os efeitos:
d) Dobrar a velocidade angular ( ):
Dobrar dobra :
Substituindo na equação da altura:

Resposta

As alturas máximas em termos de são:
a)
b)
c)
d)

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