Uma certa bola maciça e uniforme atinge uma altura máxima
ao rolar de baixo para cima de uma colina, sem deslizar. Que altura máxima (em termos de
) ela atingirá, caso você (a) dobre seu diâmetro, (b) dobre sua massa, © dobre tanto o diâmetro quanto a massa, (d) dobre o módulo da sua velocidade angular na base da colina?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que rola sem deslizar e atinge uma altura máxima
em uma colina. Estamos no ramo da Mecânica, especificamente tratando de Energia e Movimento Rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia cinética de translação e rotação se transforma em energia potencial gravitacional quando a bola sobe a colina.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total da bola ao descer é a soma da energia cinética de translação (movimento linear) e da energia cinética de rotação. Quando a bola para na altura máxima, toda essa energia se transforma em energia potencial gravitacional.
A energia cinética de translação é dada por:
E a energia cinética de rotação é:
Aqui,
é a massa da bola,
é a velocidade linear,
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 3
Sabemos que, para uma bola maciça e uniforme, o momento de inércia
é:
Além disso, como a bola rola sem deslizar, a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
por:
Isso nos ajuda a relacionar as duas energias.
Passo 4
A energia potencial na altura máxima
é:
Onde
é a aceleração da gravidade.
No ponto inicial, toda a energia é cinética, e na altura máxima, toda a energia se tornou potencial. Então:
Substituindo as expressões:
Simplificando:
Cancelando
:
Então:
Mas sabemos que originalmente a altura era
, então:
Onde
é a velocidade inicial.
Passo 5
Agora, vamos analisar cada caso solicitado:
a) Dobrar o diâmetro:
Dobrar o diâmetro significa dobrar o raio
. O momento de inércia
depende de
:
Aumentando
, a energia de rotação aumenta, o que reduz a energia disponível para a altura máxima. A nova altura
será menor.
b) Dobrar a massa:
Dobrar a massa
afeta tanto a energia cinética quanto a potencial. A nova altura
dependerá da relação direta com a massa.
c) Dobrar tanto o diâmetro quanto a massa:
Aqui, ambos os efeitos anteriores se combinam. O momento de inércia será maior e a massa também.
d) Dobrar o módulo da velocidade angular na base da colina:
Dobrar
implica dobrar
(já que
). Isso afeta diretamente a energia cinética inicial.
Passo 6
Vamos calcular cada caso:
a) Dobrar o diâmetro (
):
Substituindo na equação de energia:
Mas como
aumentou, a velocidade
diminuirá. Após os cálculos, encontramos que:
b) Dobrar a massa (
):
A massa na energia potencial aumenta, mas na equação da energia, ela cancela. Logo, a altura máxima permanece a mesma:
c) Dobrar diâmetro e massa (
):
Com ambas as mudanças, combinamos os efeitos:
d) Dobrar a velocidade angular (
):
Dobrar
dobra
:
Substituindo na equação da altura:
Resposta
As alturas máximas em termos de
são:
a)
b)
c)
d)