Uma bola está rolando, sem deslizar, sobre uma superfície horizontal de modo que o módulo da sua velocidade
, quando encontra uma colina que se ergue a um ângulo constante acima da horizontal. Em qual caso ela subirá a colina: se a colina possuir atrito suficiente para impedir o deslizamento ou se for perfeitamente lisa? Justifique suas respostas em ambos os casos em termos da conservação da energia e em termos da segunda lei de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que está rolando sem deslizar numa superfície horizontal com uma certa velocidade
. Ela encontra uma colina inclinada a um ângulo constante. Queremos descobrir em qual situação a bola consegue subir a colina: se a colina tem atrito suficiente para evitar o deslizamento ou se a colina é completamente lisa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação da energia e a segunda lei de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caso onde a colina possui atrito suficiente para impedir o deslizamento. Quando a bola rola sem deslizar, parte da energia cinética está na forma de energia translacional e parte em energia rotacional.
A energia cinética total
é dada por:
Onde:
-
é a massa da bola, -
é a velocidade linear, -
é o momento de inércia da bola, -
é a velocidade angular.
Como a bola não desliza, temos a condição
, onde
é o raio da bola. Substituindo
na equação da energia cinética:
Para uma esfera sólida,
. Substituindo:
Essa energia será convertida em energia potencial
ao subir a colina, onde
é a altura alcançada. Pela conservação da energia:
Passo 3
Agora, vamos considerar o caso da colina ser perfeitamente lisa, ou seja, sem atrito. Nesse cenário, a esfera desliza sem rolar, então toda a energia cinética é translacional:
Essa energia também será convertida em energia potencial
:
Resposta
A bola consegue subir a colina quando há atrito suficiente para impedir o deslizamento, alcançando uma altura
. Já na colina perfeitamente lisa, sem atrito, a altura máxima que a bola alcança é menor,
. Portanto, a presença de atrito que impede o deslizamento permite que a bola suba mais alto na colina.