Uma bola está rolando, sem deslizar, sobre uma superfície horizontal de modo que o módulo da sua velocidade seja v, quando encontra uma colina que se ergue a um ângulo constante acima da horizontal. Em qual caso ela subirá a colina: se a colina possuir atrito suficiente para impedir o deslizamento ou se for perfeitamente lisa? Justifique suas respostas em ambos os casos em termos da conservação da energia e em termos da segunda lei de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que está rolando sem deslizar numa superfície horizontal com uma certa velocidade . Ela encontra uma colina inclinada a um ângulo constante. Queremos descobrir em qual situação a bola consegue subir a colina: se a colina tem atrito suficiente para evitar o deslizamento ou se a colina é completamente lisa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação da energia e a segunda lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caso onde a colina possui atrito suficiente para impedir o deslizamento. Quando a bola rola sem deslizar, parte da energia cinética está na forma de energia translacional e parte em energia rotacional.
A energia cinética total Ek = 12mv^2 + 12Iomega^2 é dada por:
Ek = 12mv^2 + 12I(vr)^2
Onde:
  • Ek = 12mv^2 + 12 cdot 25mr^2 cdot v^2r^2 = 710mv^2 é a massa da bola,
  • 710mv^2 = mgh implies h = 7v^210g é a velocidade linear,
  • é o momento de inércia da bola,
  • é a velocidade angular.
Como a bola não desliza, temos a condição , onde é o raio da bola. Substituindo na equação da energia cinética:
Para uma esfera sólida, . Substituindo:
Essa energia será convertida em energia potencial ao subir a colina, onde é a altura alcançada. Pela conservação da energia:

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso da colina ser perfeitamente lisa, ou seja, sem atrito. Nesse cenário, a esfera desliza sem rolar, então toda a energia cinética é translacional:
Ek = 12mv^2
Essa energia também será convertida em energia potencial 12mv^2 = mgh implies h = v^22g :

Resposta

A bola consegue subir a colina quando há atrito suficiente para impedir o deslizamento, alcançando uma altura . Já na colina perfeitamente lisa, sem atrito, a altura máxima que a bola alcança é menor, . Portanto, a presença de atrito que impede o deslizamento permite que a bola suba mais alto na colina.

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