Em uma certa cidade, estima-se que cerca de 10 % dos habitantes tem algum tipo de alergia. Sabe-se que 50 % dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não-alérgicos é de 40 %. Defina os eventos: E - um indivíduo praticar esporte e A - um indivíduo ter alergia. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de praticar esporte.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos perguntando. Temos uma cidade onde:
  • 10% dos habitantes têm algum tipo de alergia.
  • 50% das pessoas alérgicas praticam esportes.
  • 40% das pessoas que não são alérgicas praticam esportes.
Queremos descobrir qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente nessa cidade praticar esportes.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade total e probabilidade condicional. Precisaremos entender como combinar as probabilidades de duas situações diferentes: pessoas com alergia e sem alergia que praticam esportes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e definir os eventos envolvidos:
  • A: indivíduo tem alergia.
  • ~A: indivíduo não tem alergia.
  • E: indivíduo pratica esporte.
Sabemos que:
  • (probabilidade de ter alergia).
  • (probabilidade de não ter alergia).

Passo 3

Agora, vamos identificar as probabilidades condicionais:
  • (probabilidade de praticar esporte dado que a pessoa tem alergia).
  • (probabilidade de praticar esporte dado que a pessoa não tem alergia).

Passo 4

Para encontrar a probabilidade total de uma pessoa praticar esporte, P(E) = P(E|A) cdot P(A) + P(E|sim A) cdot P(sim A) , usamos a fórmula da probabilidade total:
Isso significa que consideramos tanto as pessoas alérgicas quanto as não alérgicas que praticam esportes.

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
P(E) = (0,50) cdot (0,10) + (0,40) cdot (0,90)
P(E) = 0,05 + 0,36

Passo 6

Somando os resultados:
P(E) = 0,41
Isso significa que a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente praticar esporte é de 41%.

Resposta

A probabilidade de um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade praticar esporte é de 41%.

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