Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B)=x e P(A cap B)=y. Determine, em função de x e de y (ou seja, não é necessário substituir x e y por algum número, as respostas ficarão em funções dessas incógnitas), a probabilidade de:
a) Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois acontecimentos, A e B, com as probabilidades e a probabilidade de ambos acontecerem simultaneamente . Queremos descobrir, em termos de e , qual é a probabilidade de nenhum dos dois acontecimentos ocorrer.
Aqui, estamos lidando com probabilidade de união e probabilidade de interseção de eventos, que são conceitos básicos da teoria das probabilidades. Vamos precisar usar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos para resolver esse problema.

Passo 2

A probabilidade de pelo menos um dos eventos A ou B ocorrer é dada por:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Essa fórmula evita contar duas vezes a interseção .

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos no problema:
P(A cup B) = x - y
Isso significa que a probabilidade de pelo menos um dos eventos ocorrer é igual a .

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de nenhum dos eventos A ou B ocorrer. Sabemos que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis em um espaço amostral é 1. Portanto:
P(nenhum de A ou B) = 1 - P(A cup B)

Passo 5

Substituindo P(nenhum de A ou B) = 1 - (x - y) = 1 - x + y pela expressão que encontramos:

Resposta

A probabilidade de nenhum dos dois acontecimentos ocorrer é .

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