Em uma certa cidade, foi realizada uma reunião de 5 vereadores e 4 deputados estaduais. Nessa reunião decidiu-se formar uma comissão de 5 (cinco) membros, escolhidos entre eles, para representá-los em uma visita ao governador do estado. Também se decidiu que a comissão deveria possuir pelo menos 3 (três) vereadores. O número de comissões distintas que podem ser formadas é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de combinação aqui. Temos 5 vereadores e 4 deputados estaduais numa reunião, e precisamos formar uma comissão de 5 membros. A condição é que, dessa comissão, pelo menos 3 sejam vereadores. Vamos ver como calcular quantas comissões diferentes a gente pode formar seguindo essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “combinação”. Combinação é uma maneira de selecionar um grupo de itens sem se importar com a ordem. A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
onde $ n $ é o número total de itens e $ k $ é o número de itens que queremos selecionar.

Passo 3

Agora, como a condição é ter pelo menos 3 vereadores na comissão de 5 membros, precisamos considerar diferentes cenários:
  1. 3 vereadores e 2 deputados
  2. 4 vereadores e 1 deputado
  3. 5 vereadores e 0 deputados
Vamos calcular cada um desses casos separadamente.

Passo 4

Vamos calcular cada caso:
  1. 3 vereadores e 2 deputados:
C(5, 3) times C(4, 2) = 5!3! times 2! times 4!2! times 2! = 10 times 6 = 60
  1. 4 vereadores e 1 deputado:
C(5, 4) times C(4, 1) = 5!4! times 1! times 4!1! times 3! = 5 times 4 = 20
  1. 5 vereadores e 0 deputados:
C(5, 5) times C(4, 0) = 5!5! times 0! times 4!0! times 4! = 1 times 1 = 1

Passo 5

Agora, somamos os resultados de todos os casos para obter o total de comissões possíveis:
60 + 20 + 1 = 81

Resposta

O número de comissões distintas que podem ser formadas é 81.

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