Em certa cidade,
de todos os motoristas habitados se envolvem em, ao menos, um acidente de carro em uma ano. Com o auxílio da aproximação de Poisson para a distribuição Binomial, determine a probabilidade de que, dentre 200 motoristas escolhidos aleatoriamente nessa cidade:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de motoristas se envolverem em acidentes em uma cidade. A gente tem que usar a aproximação de Poisson para resolver um problema que, originalmente, seria da distribuição Binomial. Ou seja, vamos precisar entender como a distribuição Binomial funciona e por que a gente pode usar a Poisson como uma boa aproximação nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- A probabilidade de um motorista se envolver em, pelo menos, um acidente em um ano é de 3,2%, ou seja,
. - O número de motoristas escolhidos é 200, então
.
Passo 3
Agora, vamos falar um pouquinho sobre a distribuição Binomial e a aproximação de Poisson. A distribuição Binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 200 motoristas), cada uma com duas possibilidades de resultado (acidente ou não acidente) e a mesma probabilidade de sucesso (acidente) em cada tentativa.
A aproximação de Poisson é útil quando o número de tentativas
é grande e a probabilidade de sucesso
é pequena. Nesse caso, a Distribuição de Poisson se torna uma boa aproximação para a Binomial, especialmente quando calculamos
.
Passo 4
Vamos calcular o valor de
que vai ser usado na fórmula de Poisson:
Passo 5
Com
, podemos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de um certo número de acidentes. A fórmula é:
Onde:
-
é a constante de Euler (~2,71828), -
é a média de acidentes (neste caso, 6,4), -
é o número específico de acidentes que queremos calcular a probabilidade, -
é o fatorial de .
Resposta
A probabilidade pode ser calculada usando a fórmula de Poisson com
. Por exemplo, para encontrar a probabilidade de exatamente 6 acidentes:
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