Em certa cidade, 3,2 % de todos os motoristas habitados se envolvem em, ao menos, um acidente de carro em uma ano. Com o auxílio da aproximação de Poisson para a distribuição Binomial, determine a probabilidade de que, dentre 200 motoristas escolhidos aleatoriamente nessa cidade:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de motoristas se envolverem em acidentes em uma cidade. A gente tem que usar a aproximação de Poisson para resolver um problema que, originalmente, seria da distribuição Binomial. Ou seja, vamos precisar entender como a distribuição Binomial funciona e por que a gente pode usar a Poisson como uma boa aproximação nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • A probabilidade de um motorista se envolver em, pelo menos, um acidente em um ano é de 3,2%, ou seja, .
  • O número de motoristas escolhidos é 200, então .

Passo 3

Agora, vamos falar um pouquinho sobre a distribuição Binomial e a aproximação de Poisson. A distribuição Binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 200 motoristas), cada uma com duas possibilidades de resultado (acidente ou não acidente) e a mesma probabilidade de sucesso (acidente) em cada tentativa.
A aproximação de Poisson é útil quando o número de tentativas é grande e a probabilidade de sucesso é pequena. Nesse caso, a Distribuição de Poisson se torna uma boa aproximação para a Binomial, especialmente quando calculamos .

Passo 4

Vamos calcular o valor de lambda = n times p = 200 times 0,032 = 6,4 que vai ser usado na fórmula de Poisson:

Passo 5

Com P(X = k) = e^-lambda lambda^kk! , podemos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de um certo número de acidentes. A fórmula é:
Onde:
  • é a constante de Euler (~2,71828),
  • é a média de acidentes (neste caso, 6,4),
  • é o número específico de acidentes que queremos calcular a probabilidade,
  • é o fatorial de .

Resposta

A probabilidade pode ser calculada usando a fórmula de Poisson com P(X = 6) = e^-6,4 times 6,4^66! approx 0,1602 ou 16,02% . Por exemplo, para encontrar a probabilidade de exatamente 6 acidentes:

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