Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desses eventos são, respectivamente 0,7,0,2 e 0,1 . Foram enviados recentemente 10 pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de 6 chegarem corretamente ao destino, 2 serem perdidos e os outros 2 avariados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre 10 pacotes enviados pelo correio, e cada pacote pode ter três resultados: chegar em perfeito estado, ser danificado ou se perder. As probabilidades desses eventos são 0,7, 0,2 e 0,1, respectivamente. A gente quer descobrir a chance de, desses 10 pacotes, 6 chegarem certinhos, 2 se perderem e 2 serem danificados. Para isso, vamos usar a teoria das probabilidades multinomiais, que é quando temos mais de dois resultados possíveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a probabilidade de ocorrer exatamente esse cenário específico. Como temos três resultados possíveis para cada pacote, vamos usar a fórmula da distribuição multinomial. A fórmula geral é:
P = n!k1! , k2! , k3! times p1^k1 times p2^k2 times p3^k3
Onde:
  • é o número total de experimentos (neste caso, 10 pacotes).
  • são as quantidades de cada resultado específico.
  • são as probabilidades de cada resultado.

Passo 3

Vamos atribuir os valores ao nosso caso:
  • (10 pacotes enviados).
  • (6 chegam em perfeito estado).
  • (2 pacotes se perdem).
  • (2 pacotes são danificados).
  • (probabilidade de chegar em perfeito estado).
  • (probabilidade de se perder).
  • (probabilidade de ser danificado).

Passo 4

Agora, vamos calcular o fatorial de 10 e dos 's:
  • (como temos dois pacotes para cada um dos outros resultados).

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
P = 10!6! , 2! , 2! times (0,7)^6 times (0,1)^2 times (0,2)^2
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos a combinação:
10!6! , 2! , 2! = 3.628.800720 times 2 times 2 = 3.628.8002.880 = 1.260

Passo 7

Agora, calculamos as potências das probabilidades:
(0,7)^6 = 0,117649
(0,1)^2 = 0,01
(0,2)^2 = 0,04

Passo 8

Multiplicando tudo junto:
P = 1.260 times 0,117649 times 0,01 times 0,04
Vamos fazer as multiplicações passo a passo.
Primeiro,
Depois,
E finalmente,

Resposta

A probabilidade de que, entre 10 pacotes enviados, 6 cheguem corretamente, 2 se percam e 2 sejam danificados é aproximadamente 0,0593 ou 5,93%.

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