Os registros mostram que há uma probabilidade de 0,0012 de uma pessoa se intoxicar na lanchonete de um parque de diversões. Com a aproximação de Poisson para a Binomial, determine a probabilidade de que, de 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxicarem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a probabilidade de uma pessoa se intoxicar na lanchonete do parque é de 0,0012. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, entre 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxicar. Para resolver isso, vamos usar a aproximação de Poisson para a distribuição Binomial, que é útil quando temos muitas tentativas (n=1000) e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é bem pequena (p=0,0012).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da nossa distribuição Binomial. Temos:
  • Número de tentativas (n): 1000
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,0012
A aproximação de Poisson é apropriada aqui porque n é grande e p é pequeno. Nessa aproximação, usamos o parâmetro λ (lambda), que é igual a n vezes p.

Passo 3

Calculando λ:
lambda = n times p = 1000 times 0,0012 = 1,2
Então, agora nossa distribuição Poisson tem λ = 1,2.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que no máximo duas pessoas se intoxiquem, ou seja, . Na distribuição Poisson, isso significa somar as probabilidades de , e .

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição Poisson:
P(X = k) = e^-lambda times lambda^kk!
Onde:
  • é a base dos logaritmos naturais (≈ 2,71828)
  • é o fatorial de k

Passo 6

Calculando P(X = 0) = e^-1,2 times 1,2^00! = e^-1,2 times 1 = 0,301194 :

Passo 7

Calculando P(X = 1) = e^-1,2 times 1,2^11! = e^-1,2 times 1,2 = 0,301194 times 1,2 = 0,361433 :

Passo 8

Calculando P(X = 2) = e^-1,2 times 1,2^22! = e^-1,2 times 1,442 = 0,301194 times 0,72 = 0,216861 :

Passo 9

Agora, somamos as três probabilidades para obter P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,301194 + 0,361433 + 0,216861 = 0,879488 :

Resposta

A probabilidade de que, dentre 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxiquem é de aproximadamente 87,95%.

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