Os registros mostram que há uma probabilidade de 0,0012 de uma pessoa se intoxicar na lanchonete de um parque de diversões. Com a aproximação de Poisson para a Binomial, determine a probabilidade de que, de 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxicarem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a probabilidade de uma pessoa se intoxicar na lanchonete do parque é de 0,0012. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, entre 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxicar. Para resolver isso, vamos usar a aproximação de Poisson para a distribuição Binomial, que é útil quando temos muitas tentativas (n=1000) e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é bem pequena (p=0,0012).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da nossa distribuição Binomial. Temos:
  • Número de tentativas (n): 1000
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,0012
A aproximação de Poisson é apropriada aqui porque n é grande e p é pequeno. Nessa aproximação, usamos o parâmetro λ (lambda), que é igual a n vezes p.

Passo 3

Calculando λ:
Então, agora nossa distribuição Poisson tem λ = 1,2.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que no máximo duas pessoas se intoxiquem, ou seja, . Na distribuição Poisson, isso significa somar as probabilidades de , e .

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição Poisson:
Onde:
  • é a base dos logaritmos naturais (≈ 2,71828)
  • é o fatorial de k

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Calculando :

Passo 9

Agora, somamos as três probabilidades para obter :

Resposta

A probabilidade de que, dentre 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxiquem é de aproximadamente 87,95%.

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