Os registros mostram que há uma probabilidade de 0,0012 de uma pessoa se intoxicar na lanchonete de um parque de diversões. Com a aproximação de Poisson para a Binomial, determine a probabilidade de que, de 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxicarem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a probabilidade de uma pessoa se intoxicar na lanchonete do parque é de 0,0012. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, entre 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxicar. Para resolver isso, vamos usar a aproximação de Poisson para a distribuição Binomial, que é útil quando temos muitas tentativas (n=1000) e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é bem pequena (p=0,0012).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da nossa distribuição Binomial. Temos:
- Número de tentativas (n): 1000
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,0012
A aproximação de Poisson é apropriada aqui porque n é grande e p é pequeno. Nessa aproximação, usamos o parâmetro λ (lambda), que é igual a n vezes p.
Passo 3
Calculando λ:
Então, agora nossa distribuição Poisson tem λ = 1,2.
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de que no máximo duas pessoas se intoxiquem, ou seja,
. Na distribuição Poisson, isso significa somar as probabilidades de
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição Poisson:
Onde:
-
é a base dos logaritmos naturais (≈ 2,71828) -
é o fatorial de k
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Agora, somamos as três probabilidades para obter
:
Resposta
A probabilidade de que, dentre 1000 pessoas que visitam o parque, no máximo duas se intoxiquem é de aproximadamente 87,95%.
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