Suponha que determinado medicamento, usado para o diagnóstico precoce da gravidez, é capaz de confirmar casos positivos em 90 % de mulheres muito jovens. Nestas condições, qual é a probabilidade de, em uma amostra de 9 gestantes muito jovens que fizeram uso deste medicamento:
a) Duas delas não terem confirmado precocemente a gravidez?
b) No máximo três delas terem confirmado precocemente a gravidez?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um medicamento que confirma a gravidez em 90% das mulheres muito jovens. Estamos trabalhando com uma amostra de 9 gestantes que usaram esse medicamento. Precisamos calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de exatamente 2 delas não terem confirmado a gravidez precocemente.
b) A probabilidade de, no máximo, 3 delas terem confirmado a gravidez precocemente.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 9 gestantes) e cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (confirmar ou não confirmar a gravidez).

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula da Distribuição Binomial:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número total de tentativas (9 gestantes).
  • é o número de sucessos desejados.
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Para a parte a), queremos a probabilidade de exatamente 2 gestantes não terem confirmado a gravidez.
Aqui, “não confirmar” é considerado um “sucesso” no contexto da distribuição binomial, já que estamos contando essas ocorrências. A probabilidade de não confirmar é .
Então, temos:

Passo 4

Vamos aplicar os valores na fórmula:
P(2) = binom92 times (0,1)^2 times (0,9)^9-2
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial binom92 = 9!2!(9-2)! = 9 times 82 times 1 = 36 :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
P(2) = 36 times (0,1)^2 times (0,9)^7
P(2) = 36 times 0,01 times 0,4782969
P(2) approx 36 times 0,01 times 0,4783
P(2) approx 36 times 0,004783
P(2) approx 0,172

Passo 6

Para a parte b), queremos a probabilidade de, no máximo, 3 gestantes confirmarem a gravidez precocemente.
Aqui, “confirmar” é o sucesso com probabilidade . Queremos , ou seja, .

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente e depois somar:
P(0) = binom90 times (0,9)^0 times (0,1)^9 = 1 times 1 times 0,0000001 = 0,0000001
P(1) = binom91 times (0,9)^1 times (0,1)^8 = 9 times 0,9 times 0,0000001 = 0,00000081
P(2) = binom92 times (0,9)^2 times (0,1)^7 = 36 times 0,81 times 0,000001 = 0,00002916
P(3) = binom93 times (0,9)^3 times (0,1)^6 = 84 times 0,729 times 0,0001 = 0,0061236

Passo 8

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(k <= 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) approx 0,0000001 + 0,00000081 + 0,00002916 + 0,0061236 approx 0,00615367

Resposta

a) A probabilidade de exatamente 2 gestantes não confirmarem precocemente a gravidez é aproximadamente 17,2%.
b) A probabilidade de, no máximo, 3 gestantes confirmarem precocemente a gravidez é aproximadamente 0,615%.

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