Suponha que determinado medicamento, usado para o diagnóstico precoce da gravidez, é capaz de confirmar casos positivos em
de mulheres muito jovens. Nestas condições, qual é a probabilidade de, em uma amostra de 9 gestantes muito jovens que fizeram uso deste medicamento:
a) Duas delas não terem confirmado precocemente a gravidez?
b) No máximo três delas terem confirmado precocemente a gravidez?
a) Duas delas não terem confirmado precocemente a gravidez?
b) No máximo três delas terem confirmado precocemente a gravidez?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um medicamento que confirma a gravidez em 90% das mulheres muito jovens. Estamos trabalhando com uma amostra de 9 gestantes que usaram esse medicamento. Precisamos calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de exatamente 2 delas não terem confirmado a gravidez precocemente.
b) A probabilidade de, no máximo, 3 delas terem confirmado a gravidez precocemente.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 9 gestantes) e cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (confirmar ou não confirmar a gravidez).
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula da Distribuição Binomial:
Onde:
-
é o número total de tentativas (9 gestantes). -
é o número de sucessos desejados. -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. -
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
Passo 3
Para a parte a), queremos a probabilidade de exatamente 2 gestantes não terem confirmado a gravidez.
Aqui, “não confirmar” é considerado um “sucesso” no contexto da distribuição binomial, já que estamos contando essas ocorrências. A probabilidade de não confirmar é
.
Então, temos:
Passo 4
Vamos aplicar os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial
:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 6
Para a parte b), queremos a probabilidade de, no máximo, 3 gestantes confirmarem a gravidez precocemente.
Aqui, “confirmar” é o sucesso com probabilidade
. Queremos
, ou seja,
.
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente e depois somar:
Passo 8
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Resposta
a) A probabilidade de exatamente 2 gestantes não confirmarem precocemente a gravidez é aproximadamente 17,2%.
b) A probabilidade de, no máximo, 3 gestantes confirmarem precocemente a gravidez é aproximadamente 0,615%.