0,6 % dos detonadores fornecidos a um arsenal são defeituosos, utilize a aproximação de Poisson para distribuição Binomial para determinar a probabilidade de que, em uma amostra aleatória de 500 detonadores, quatro sejam defeituosos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá pegando aqui. A gente sabe que 0,6% dos detonadores são defeituosos e queremos descobrir a probabilidade de, em uma amostra de 500 detonadores, exatamente 4 serem defeituosos. Vamos usar a aproximação de Poisson, que é uma forma simplificada de trabalhar com distribuições Binomial quando certos critérios são atendidos. Para isso, precisamos entender um pouco sobre as distribuições Binomial e Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o parâmetro λ (lambda) que é essencial para a distribuição de Poisson. A fórmula para λ é:
lambda = n times p
Onde:
  • lambda = 500 times 0,006 = 3 é o número total de tentativas (neste caso, 500 detonadores).
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,6%, ou 0,006).
Então:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de exatamente 4 detonadores serem defeituosos. A fórmula é:
P(k) = e^-lambda times lambda^kk!
Onde:
  • P(4) = e^-3 times 3^44! é o número de sucessos que queremos (4 detonadores defeituosos).
  • é a base dos logaritmos naturais (~2,71828).
  • é o fatorial de .
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular os valores numéricos:
  1. Calcular e^-3 approx 0,049787 :
3^4 = 81
  1. Calcular 4! = 24 :
P(4) = 0,049787 times 8124 approx 4,03724724 approx 0,168218
  1. Calcular :
Agora, substituímos na equação:

Resposta

A probabilidade de exatamente quatro detonadores defeituosos em uma amostra de 500 é aproximadamente 0,168, ou 16,8%.

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