O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De experiências prévias com esse processo, sabe-se que o rendimento é normalmente distribuído e o desvio padrão populacional é igual a três (sigma=3). Os últimos cinco dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimentos percentuais: 91, 6 ; 88,75 ; 90,8 ; 89,95 e 91,3 . Encontre um intervalo bilateral com 95 % de confiança para o rendimento médio verdadeiro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o rendimento de um processo químico que é distribuído normalmente, com desvio padrão conhecido ( sigma = 3). Temos cinco dias de dados de rendimento: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. Nosso objetivo é encontrar um intervalo de confiança bilateral de 95% para a média verdadeira desse rendimento. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média dos rendimentos, entender sobre distribuições normais e usar a fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão populacional é conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos rendimentos que foram observados nos cinco dias. A média ( barx) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 91,6 + 88,75 + 90,8 + 89,95 + 91,35
Vamos fazer essa conta:
barx = 91,6 + 88,75 + 90,8 + 89,95 + 91,35 = 451,45 = 90,28
Então, a média dos rendimentos é 90,28%.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição normal para um intervalo de confiança de 95%. Como a distribuição é normal e conhecemos o desvio padrão populacional, usamos a tabela z (distribuição normal padrão).
Para um intervalo de 95%, a área nas duas extremidades é de 2,5% em cada lado. O valor z correspondente a 97,5% (já que 95% está no meio) é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Com o valor z de 1,96, podemos calcular a margem de erro (ME) usando a fórmula:
ME = zalpha2 times sigmaraizn
Onde:
  • zalpha2 = 1,96
  • sigma = 3
  • n = 5
Vamos calcular:
ME = 1,96 times 3raiz5 approx 1,96 times 32,236 approx 1,96 times 1,342 approx 2,63
A margem de erro é aproximadamente 2,63%.

Passo 5

Finalmente, vamos montar o intervalo de confiança usando a média calculada e a margem de erro:
barx pm ME = 90,28 pm 2,63
Isso resulta em:
90,28 - 2,63 = 87,65 90,28 + 2,63 = 92,91

Resposta

O intervalo de confiança bilateral de 95% para o rendimento médio verdadeiro está entre 87,65% e 92,91%.

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