Em uma certa plantação, a produção P de feijão depende da quantidade q de fertilizante utilizada e tal dependência pode ser expressa por P(x)=-3q²+90q+525. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizante em kg/m², determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima, respectivamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que relaciona a produção de feijão $ P(q) $ com a quantidade de fertilizante $ q $ utilizada na plantação. O objetivo é descobrir qual a quantidade de fertilizante que maximiza a produção e qual é essa produção máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas e encontrar o ponto de máximo dessa função.
Passo 2
A função que descreve a produção é $ P(q) = -3q^2 + 90q + 525 $. Essa é uma função quadrática do tipo $ P(q) = aq^2 + bq + c $, onde $ a = -3 $, $ b = 90 $ e $ c = 525 $. Como o coeficiente de $ q^2 $ é negativo ($ a = -3 $), sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.
Passo 3
Para encontrar a quantidade de fertilizante que maximiza a produção, precisamos determinar a coordenada $ q $ do vértice dessa parábola. A fórmula para encontrar o $ q $ do vértice de uma função quadrática é:
Vamos aplicar essa fórmula usando os valores de $ a $ e $ b $ da nossa função.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a quantidade de fertilizante que devemos usar para obter a produção máxima é de 15 kg/m².
Passo 5
Agora, vamos calcular a produção máxima substituindo $ q = 15 $ na função $ P(q) $:
Primeiro, calculamos $ (15)^2 = 225 $:
Portanto, a produção máxima é de 1200 kg.
Resposta
A quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima é de 15 kg/m² e a produção máxima é de 1200 kg.