De uma v.a.
sabe-se que
- os valores possíveis são
e 5 .
-
-
(a) Determine a distribuição de probabilidade de
.
(b) Determine a função
e faça o seu gráfico.
Nota: A função
designa-se por função de distribuição acumulada de
.
© Calcule, usando a função
e
.
(a) Determine a distribuição de probabilidade de
(b) Determine a função
Nota: A função
© Calcule, usando a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Probabilidade juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores
,
,
e
. A gente sabe algumas probabilidades relacionadas a esses valores e precisa descobrir a distribuição de probabilidade de $ X $, a função de distribuição acumulada $ F(x) $, e calcular algumas probabilidades usando essa função. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de distribuição de probabilidade e função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as informações que temos sobre $ X $. Sabemos que $ X $ pode ser
,
,
ou
. Vamos chamar as probabilidades desses valores de $ p_{-1} $, $ p_0 $, $ p_3 $ e $ p_5 $ respectivamente.
Passo 3
A gente sabe que $ P({X=-1} \cup {X=0} \cup {X=3}) = 0,6 $. Como essas são eventos mutuamente exclusivos (valores diferentes de $ X $ não acontecem ao mesmo tempo), a probabilidade total é a soma das probabilidades individuais:
Passo 4
Também temos que $ P({X=3}) = \frac{3}{4} P({X=5}) $. Vamos expressar $ p_3 $ em termos de $ p_5 $:
E que $ p_3 = 3 p_{-1} $. Então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos expressar todas as probabilidades em termos de $ p_{-1} $:
Simplificando:
Passo 6
Além disso, sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser 1:
Substituindo $ p_3 $ e $ p_5 $:
Calculando:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Passo 8
Agora que temos $ p_{-1} = 0,1 $, podemos encontrar $ p_5 $ e $ p_3 $:
Passo 9
Com $ p_{-1} = 0,1 $, $ p_3 = 0,3 $ e $ p_5 = 0,4 $, podemos encontrar $ p_0 $ usando a primeira equação:
Passo 10
Agora temos todas as probabilidades:
Essa é a distribuição de probabilidade de $ X $.
Resposta
(a) A distribuição de probabilidade de $ X $ é: