De uma v.a. X sabe-se que
  • os valores possíveis são -1,0,3 e 5 .
  • P(X=-1 cupX=0 cupX=3)=0.6
  • P(X=3)=34 P(X=5)=3 P(X=-1)
    (a) Determine a distribuição de probabilidade de X.
    (b) Determine a função F(x)=P(X <= x) e faça o seu gráfico.
    Nota: A função F(x) designa-se por função de distribuição acumulada de X.
    © Calcule, usando a função F(x), P(X <= 1), P(X<3), P(X >= 1) e P(0= 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Probabilidade juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores X , -1, 0 e 3. A gente sabe algumas probabilidades relacionadas a esses valores e precisa descobrir a distribuição de probabilidade de $ X $, a função de distribuição acumulada $ F(x) $, e calcular algumas probabilidades usando essa função. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de distribuição de probabilidade e função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos sobre $ X $. Sabemos que $ X $ pode ser X , X , -1 ou 0. Vamos chamar as probabilidades desses valores de $ p_{-1} $, $ p_0 $, $ p_3 $ e $ p_5 $ respectivamente.

Passo 3

A gente sabe que $ P({X=-1} \cup {X=0} \cup {X=3}) = 0,6 $. Como essas são eventos mutuamente exclusivos (valores diferentes de $ X $ não acontecem ao mesmo tempo), a probabilidade total é a soma das probabilidades individuais:
P(X=-1 cup X=0 cup X=3) = 0,6

Passo 4

Também temos que $ P({X=3}) = \frac{3}{4} P({X=5}) $. Vamos expressar $ p_3 $ em termos de $ p_5 $:
P(X=3) = 34 P(X=5)
E que $ p_3 = 3 p_{-1} $. Então:
p3
Simplificando:
p5

Passo 5

Agora, vamos expressar todas as probabilidades em termos de $ p_{-1} $:
p-1
p5 = 4 p-1
p3 = 3 p-1
Simplificando:
p-1 + p0 + 3 p-1 = 0,6

Passo 6

Além disso, sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser 1:
p-1 + p0 + p3 + p5 = 1
Substituindo $ p_3 $ e $ p_5 $:
p3
Calculando:
p5

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
4 p-1 + p0 = 0,6 8 p-1 + p0 = 1
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
(8 p-1 + p0) - (4 p-1 + p0) = 1 - 0,6
4 p-1 = 0,4 implies p-1 = 0,1

Passo 8

Agora que temos $ p_{-1} = 0,1 $, podemos encontrar $ p_5 $ e $ p_3 $:
p-1 = 0,1
p5

Passo 9

Com $ p_{-1} = 0,1 $, $ p_3 = 0,3 $ e $ p_5 = 0,4 $, podemos encontrar $ p_0 $ usando a primeira equação:
p-1 = 0,1

Passo 10

Agora temos todas as probabilidades:
p-1 = 0,1, p0 = 0,2, p3 = 0,3, p5 = 0,4
Essa é a distribuição de probabilidade de $ X $.

Resposta

(a) A distribuição de probabilidade de $ X $ é:
X

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