Considere a variável aleatória
com função de probabilidade:
|
-1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0.35 | 0.46 | c | 0.05 | 0.02 | 0.01 | 0.01 |
(a) Determine
.
(b) Determine: e
.
© Calcule a média e o desvio padrão de .
(b) Determine:
© Calcule a média e o desvio padrão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de probabilidade definida em alguns valores específicos de $ x $. A tabela mostra as probabilidades para cada $ x $, mas tem uma incógnita, o valor de $ c $ para $ x = 1 $. Nosso objetivo é:
a) Encontrar $ P(X=1) $.
b) Calcular $ P(X \leq 2) $, $ P(X < 2) $ e $ P(|X| \leq 1) $.
c) Determinar a média (ou valor esperado) e o desvio padrão de $ X $.
Para resolver tudo isso, vamos precisar lembrar que as probabilidades de todos os eventos possíveis devem somar 1 e que a média e o desvio padrão envolvem algumas fórmulas específicas de estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar $ P(X=1) $, que é o valor de $ c $.
Sabemos que a soma de todas as probabilidades em uma distribuição deve ser igual a 1. Então, somamos todas as probabilidades que já temos e subtraímos de 1 para encontrar $ c $.
A soma das probabilidades dadas é:
Então:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
$ P(X \leq 2) $: Essa probabilidade representa a chance de $ X $ ser menor ou igual a 2. Olhando na tabela, devemos somar as probabilidades para $ x = -1, 0, 1, 2 $:
$ P(X < 2) $: Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser menor que 2, ou seja, $ X = -1, 0, 1 $:
$ P(|X| \leq 1) $: Essa é a probabilidade de $ X $ estar entre -1 e 1, inclusive. Então, somamos as probabilidades de $ X = -1, 0, 1 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da variável $ X $:
Média (Valor Esperado) $ E[X] $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Variância $ Var(X) $:
Primeiro, calculamos $ E[X^2] $:
Primeiro, calculamos $ E[X^2] $:
Somando:
Agora, a variância:
Desvio Padrão $ \sigma $:
Resposta
a) $ P(X=1) = 0.10 $
b)
c)