Considere a variável aleatória X com função de probabilidade:
x -1 0 1 2 3 4 5
f(x) 0.35 0.46 c 0.05 0.02 0.01 0.01
(a) Determine P(X=1).
(b) Determine: P(X <= 2), P(X<2) e P(|X| <= 1).
© Calcule a média e o desvio padrão de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de probabilidade definida em alguns valores específicos de $ x $. A tabela mostra as probabilidades para cada $ x $, mas tem uma incógnita, o valor de $ c $ para $ x = 1 $. Nosso objetivo é:
a) Encontrar $ P(X=1) $.
b) Calcular $ P(X \leq 2) $, $ P(X < 2) $ e $ P(|X| \leq 1) $.
c) Determinar a média (ou valor esperado) e o desvio padrão de $ X $.
Para resolver tudo isso, vamos precisar lembrar que as probabilidades de todos os eventos possíveis devem somar 1 e que a média e o desvio padrão envolvem algumas fórmulas específicas de estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar $ P(X=1) $, que é o valor de $ c $.
Sabemos que a soma de todas as probabilidades em uma distribuição deve ser igual a 1. Então, somamos todas as probabilidades que já temos e subtraímos de 1 para encontrar $ c $.
A soma das probabilidades dadas é:
P(X=1)
Então:
c

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b):
$ P(X \leq 2) $: Essa probabilidade representa a chance de $ X $ ser menor ou igual a 2. Olhando na tabela, devemos somar as probabilidades para $ x = -1, 0, 1, 2 $:
P(X <= 2)
$ P(X < 2) $: Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser menor que 2, ou seja, $ X = -1, 0, 1 $:
X
$ P(|X| \leq 1) $: Essa é a probabilidade de $ X $ estar entre -1 e 1, inclusive. Então, somamos as probabilidades de $ X = -1, 0, 1 $:
x = -1, 0, 1, 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da variável $ X $:
Média (Valor Esperado) $ E[X] $:
X
Calculando cada termo:
E[X]
Somando tudo:
E[X] = sum x cdot P(X=x)
Variância $ Var(X) $:
Primeiro, calculamos $ E[X^2] $:
(-1) cdot 0.35 &= -0.35 0 cdot 0.46 &= 0 1 cdot 0.10 &= 0.10 2 cdot 0.05 &= 0.10 3 cdot 0.02 &= 0.06 4 cdot 0.01 &= 0.04 5 cdot 0.01 &= 0.05
Somando:
E[X] = -0.35 + 0 + 0.10 + 0.10 + 0.06 + 0.04 + 0.05 = 0.00
Agora, a variância:
Var(X)
Desvio Padrão $ \sigma $:
E[X^2]

Resposta

a) $ P(X=1) = 0.10 $
b)
P(X=1) = 0.10
c)
P(X <= 2) &= 0.96 P(X < 2) &= 0.91 P(|X| <= 1) &= 0.91 éã

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