5.3 & Seja
. Calcule a corrente total que flui pela porção da superfície esférica
, limitada por
,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma densidade de corrente elétrica, representada por
, que está distribuída numa superfície esférica com raio
metros. Queremos calcular a corrente total que passa por uma parte dessa superfície, limitada pelos ângulos
e
dados. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas esféricas e integrar a densidade de corrente sobre a área especificada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a corrente total
que atravessa uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente
sobre essa superfície
:
Aqui,
é o vetor área diferencial da superfície.
Passo 3
Como estamos trabalhando em coordenadas esféricas, precisamos expressar o vetor área diferencial
na superfície esférica
. Em coordenadas esféricas, o vetor área diferencial é dado por:
Onde:
-
é o raio da esfera, -
é o ângulo polar, -
é o ângulo azimutal, -
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a densidade de corrente
que nos foi dada:
Perceba que
também está na direção radial
, o que facilita o cálculo do produto escalar
.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
metros na expressão:
Calculando
e
:
Então:
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla com os limites fornecidos:
Integrando primeiro em
:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Calculando os valores:
Portanto:
Agora, a integral em
é simples:
Multiplicando tudo:
Resposta
A corrente total que flui pela porção da superfície esférica é aproximadamente
A.