5.3 & Seja J=400 sen theta /(r^2+4) ar A / m^2. Calcule a corrente total que flui pela porção da superfície esférica r=0,8, limitada por 0,1 pi, 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma densidade de corrente elétrica, representada por , que está distribuída numa superfície esférica com raio metros. Queremos calcular a corrente total que passa por uma parte dessa superfície, limitada pelos ângulos e dados. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas esféricas e integrar a densidade de corrente sobre a área especificada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a corrente total I = integral duplaS J cdot dS que atravessa uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície :
Aqui, é o vetor área diferencial da superfície.

Passo 3

Como estamos trabalhando em coordenadas esféricas, precisamos expressar o vetor área diferencial dS = r^2 sintheta , dtheta , dphi , ar na superfície esférica . Em coordenadas esféricas, o vetor área diferencial é dado por:
Onde:
  • é o raio da esfera,
  • é o ângulo polar,
  • é o ângulo azimutal,
  • é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a densidade de corrente J = 400 sinthetar^2+4 , ar , A/m^2 que nos foi dada:
Perceba que também está na direção radial , o que facilita o cálculo do produto escalar .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar J cdot dS = ( 400 sinthetar^2+4 ar ) cdot ( r^2 sintheta , dtheta , dphi , ar ) = 400 sinthetar^2+4 cdot r^2 sintheta , dtheta , dphi :
J cdot dS = 400 r^2 sin^2thetar^2+4 , dtheta , dphi
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos J cdot dS = 400 times (0,8)^2 sin^2theta(0,8)^2+4 , dtheta , dphi metros na expressão:
(0,8)^2 = 0,64 0,64 + 4 = 4,64
Calculando J cdot dS = 400 times 0,64 sin^2theta4,64 , dtheta , dphi = 256 sin^2theta4,64 , dtheta , dphi approx 55,1724 sin^2theta , dtheta , dphi e :
Então:

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla com os limites fornecidos:
I = integral duplaS J cdot dS = integral0^2pi integral0,1pi^0,3pi 55,1724 sin^2theta , dtheta , dphi
Integrando primeiro em integral0,1pi^0,3pi sin^2theta , dtheta :
integral sin^2theta , dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C
Sabemos que:
[ theta2 - sin(2theta)4 ]0,1pi^0,3pi = ( 0,3pi2 - sin(0,6pi)4 ) - ( 0,1pi2 - sin(0,2pi)4 )
Aplicando os limites:
sin(0,6pi) = sin(3pi times 0,2) = sin(0,6pi) approx 0 sin(0,2pi) = 0
Calculando os valores:
0,3pi2 - 04 - ( 0,1pi2 - 04 ) = 0,3pi - 0,1pi2 = 0,2pi2 = 0,1pi
Portanto:
integral0^2pi dphi = 2pi
Agora, a integral em I = 55,1724 times 0,1pi times 2pi = 55,1724 times 0,2pi^2 approx 55,1724 times 1,9739 approx 108,6 , A é simples:
Multiplicando tudo:

Resposta

A corrente total que flui pela porção da superfície esférica é aproximadamente A.

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