Em certa rua, há dois semáforos, um no início e outro no final da rua. O semáforo do início, a cada ciclo de 120 segundos, fica verde nos primeiros 110 segundos e vermelho nos 10 segundos seguintes. O semáforo do final, a cada ciclo de 180 segundos, fica verde nos primeiros 160 segundos e vermelho nos 20 segundos seguintes. Ambos ficaram verdes ao mesmo tempo, exatamente meio-dia. Por quanto tempo, no período de 24 horas até o meio-dia do dia seguinte, os semáforos estarão simultaneamente vermelhos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre sincronização de semáforos. O enunciado fala sobre dois semáforos em uma rua: um no início e outro no final. O primeiro semáforo tem um ciclo de 120 segundos, ficando verde por 110 segundos e vermelho por 10 segundos. O segundo semáforo tem um ciclo de 180 segundos, com verde por 160 segundos e vermelho por 20 segundos. Ambos começaram verdes exatamente ao meio-dia. A pergunta é: em 24 horas até o meio-dia do dia seguinte, por quanto tempo os dois semáforos estarão vermelhos ao mesmo tempo?
Pra resolver, vamos precisar entender de ciclos de tempo e encontrar quando os vermelhos dos dois semáforos se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os períodos de verde e vermelho de cada semáforo:
  • Semáforo A:
    • Ciclo total: $ T_A = 120 $ segundos
    • Verde: $ T_{Ag} = 110 $ segundos
    • Vermelho: $ T_{Ar} = 10 $ segundos
  • Semáforo B:
    • Ciclo total: $ T_B = 180 $ segundos
    • Verde: $ T_{Bg} = 160 $ segundos
    • Vermelho: $ T_{Br} = 20 $ segundos

Passo 3

Agora, vamos determinar a periodicidade com que os padrões de ambos os semáforos se repetem juntos. Para isso, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos ciclos:
MMC(TA, TB) = MMC(120, 180) = 360 segundos
Isso significa que a cada 360 segundos (ou 6 minutos), os semáforos retornam à mesma situação inicial.

Passo 4

Dentro desses 360 segundos, vamos ver quando cada semáforo está vermelho:
  • Semáforo A:
    • Vermelho nos intervalos:
      • 110 s a 120 s
      • 230 s a 240 s
      • 350 s a 360 s
  • Semáforo B:
    • Vermelho nos intervalos:
      • 160 s a 180 s
      • 340 s a 360 s

Passo 5

Agora, vamos encontrar os períodos onde os dois semáforos estão vermelhos ao mesmo tempo dentro dos 360 segundos:
  • Comparando os intervalos vermelhos de A e B:
    • 110-120 s (A) e 160-180 s (B): Sem sobreposição
    • 230-240 s (A) e 160-180 s (B): Sem sobreposição
    • 350-360 s (A) e 340-360 s (B): Sobreposição de 350 s a 360 s
Então, dentro de cada ciclo de 360 segundos, os dois semáforos estão vermelhos juntos por 10 segundos (de 350 a 360 segundos).

Passo 6

Agora, vamos calcular quantas vezes esse ciclo de 360 segundos se repete em 24 horas:
Total de segundos em 24 horas = 24 times 60 times 60 = 86400 segundos
Número de ciclos = 86400360 = 240 ciclos ú

Passo 7

Sabendo que em cada ciclo os semáforos ficam simultaneamente vermelhos por 10 segundos, o total de tempo em que ambos estão vermelhos ao mesmo tempo em 24 horas é:
Tempo total = 240 times 10 = 2400 segundos
Convertendo para minutos:
2400 div 60 = 40 minutos

Resposta

Os semáforos estarão simultaneamente vermelhos por 40 minutos em um período de 24 horas.

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