Em certa rua, há dois semáforos, um no início e outro no final da rua. O semáforo do início, a cada ciclo de 120 segundos, fica verde nos primeiros 110 segundos e vermelho nos 10 segundos seguintes. O semáforo do final, a cada ciclo de 180 segundos, fica verde nos primeiros 160 segundos e vermelho nos 20 segundos seguintes. Ambos ficaram verdes ao mesmo tempo, exatamente meio-dia. Por quanto tempo, no período de 24 horas até o meio-dia do dia seguinte, os semáforos estarão simultaneamente vermelhos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre sincronização de semáforos. O enunciado fala sobre dois semáforos em uma rua: um no início e outro no final. O primeiro semáforo tem um ciclo de 120 segundos, ficando verde por 110 segundos e vermelho por 10 segundos. O segundo semáforo tem um ciclo de 180 segundos, com verde por 160 segundos e vermelho por 20 segundos. Ambos começaram verdes exatamente ao meio-dia. A pergunta é: em 24 horas até o meio-dia do dia seguinte, por quanto tempo os dois semáforos estarão vermelhos ao mesmo tempo?
Pra resolver, vamos precisar entender de ciclos de tempo e encontrar quando os vermelhos dos dois semáforos se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os períodos de verde e vermelho de cada semáforo:
-
Semáforo A:
- Ciclo total: $ T_A = 120 $ segundos
- Verde: $ T_{Ag} = 110 $ segundos
- Vermelho: $ T_{Ar} = 10 $ segundos
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Semáforo B:
- Ciclo total: $ T_B = 180 $ segundos
- Verde: $ T_{Bg} = 160 $ segundos
- Vermelho: $ T_{Br} = 20 $ segundos
Passo 3
Agora, vamos determinar a periodicidade com que os padrões de ambos os semáforos se repetem juntos. Para isso, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos ciclos:
Isso significa que a cada 360 segundos (ou 6 minutos), os semáforos retornam à mesma situação inicial.
Passo 4
Dentro desses 360 segundos, vamos ver quando cada semáforo está vermelho:
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Semáforo A:
- Vermelho nos intervalos:
- 110 s a 120 s
- 230 s a 240 s
- 350 s a 360 s
- Vermelho nos intervalos:
-
Semáforo B:
- Vermelho nos intervalos:
- 160 s a 180 s
- 340 s a 360 s
- Vermelho nos intervalos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os períodos onde os dois semáforos estão vermelhos ao mesmo tempo dentro dos 360 segundos:
- Comparando os intervalos vermelhos de A e B:
- 110-120 s (A) e 160-180 s (B): Sem sobreposição
- 230-240 s (A) e 160-180 s (B): Sem sobreposição
- 350-360 s (A) e 340-360 s (B): Sobreposição de 350 s a 360 s
Então, dentro de cada ciclo de 360 segundos, os dois semáforos estão vermelhos juntos por 10 segundos (de 350 a 360 segundos).
Passo 6
Agora, vamos calcular quantas vezes esse ciclo de 360 segundos se repete em 24 horas:
Passo 7
Sabendo que em cada ciclo os semáforos ficam simultaneamente vermelhos por 10 segundos, o total de tempo em que ambos estão vermelhos ao mesmo tempo em 24 horas é:
Convertendo para minutos:
Resposta
Os semáforos estarão simultaneamente vermelhos por 40 minutos em um período de 24 horas.