"
Certo capital foi aplicado em regime de juros compostos. Nos quatro primeiros meses, a taxa foi de 1% ao mês e, nos quatro meses seguintes, a taxa foi de 2% ao mês. Sabendo-se que, após os oito meses de aplicação, o montante resgatado foi de R$ 65.536,00, então o capital aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a Dado: 65536 = 2^16
a)3,66^8
b)3,72^8
c)3,78^8
d)3,88^8 e)3,96^8
"

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício envolve juros compostos, que é um método de calcular o crescimento do dinheiro onde os juros são calculados sobre o capital inicial mais os juros já acumulados. Aqui, temos um capital aplicado por 8 meses com taxas de juros diferentes: 1% ao mês nos primeiros 4 meses e 2% ao mês nos 4 meses seguintes. Nosso objetivo é descobrir quanto foi o capital inicial aplicado para que, após esses 8 meses, o montante final fosse R$ 65.536,00.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o cálculo de juros compostos. A fórmula geral é:
M = C times (1 + i)^n
Onde:
  • $ M $ é o montante final,
  • $ C $ é o capital inicial,
  • $ i $ é a taxa de juros por período,
  • $ n $ é o número de períodos.
No nosso caso, porém, a taxa de juros muda após os 4 primeiros meses. Então, precisamos calcular o montante após os primeiros 4 meses e depois aplicar a nova taxa nos 4 meses seguintes.

Passo 3

Vamos chamar o capital inicial de $ C $. Nos primeiros 4 meses, a taxa é de 1% ao mês, ou seja, $ i = 0,01 $.
Aplicando a fórmula dos juros compostos para os primeiros 4 meses:
C

Passo 4

Agora, $ M_1 $ se torna o novo capital para os próximos 4 meses, onde a taxa de juros passa para 2% ao mês, ou seja, $ i = 0,02 $.
Aplicamos novamente a fórmula dos juros compostos para os próximos 4 meses:
M1
Substituindo $ M_1 $ na equação:
i = 0,02

Passo 5

Sabemos que o montante final $ M $ é R$ 65.536,00. Então, temos:
M
Nosso objetivo é encontrar $ C $.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar $ C $:
C

Passo 7

Vamos calcular $ (1,01)^4 $ e $ (1,02)^4 $:
Primeiro, $ (1,01)^4 $:
(1,01)^4
Segundo, $ (1,02)^4 $:
(1,02)^4

Passo 8

Agora, multiplicamos esses dois valores:
1,04060401 times 1,08243216 approx 1,12616242
Então, substituindo de volta na equação para $ C $:
C

Resposta

O capital inicial aplicado foi aproximadamente R$ 58.200,00.

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