Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
psi0(x)=A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar
calcule: a) lang<= xrang<=. b) lang<= prang<=. c) lang<= x^2rang<=. d) lang<= p^2rang<=. Importante: não se esqueça que a função de onda SEMPRE tem que estar normalizada para cálculos de probabilidade. Resposta parcial:
a) lang<= xrang<==0. d) lang<= p^2rang<==m omega hbar / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A gente tem a função de onda do estado fundamental de uma partícula:
psi0(x) = A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar
O que a gente precisa fazer é calcular os valores esperados de $ x $, $ p $, $ x^2 $ e $ p^2 $. Para isso, vamos precisar entender sobre normalização da função de onda e como calcular os valores esperados usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função de onda está normalizada. Normalizar significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. Matemáticamente, isso é:
integral-infty^+infty |psi0(x)|^2 dx = 1
Vamos calcular isso para encontrar a constante $ A_{0} $.

Passo 3

Calculando o quadrado da função de onda:
|psi0(x)|^2 = A0^2 e^-m omega x^2 / hbar
Agora, integramos isso de -infty a +infty:
A0^2 integral-infty^+infty e^-m omega x^2 / hbar dx = 1
Sabemos que integral-infty^+infty e^-a x^2 dx = raizpi/a. Aplicando isso aqui:
A0^2 raizpi hbarm omega = 1 Rightarrow A0 = (m omegapi hbar)^1/4

Passo 4

Agora vamos calcular $ \langle x \rangle $, o valor esperado de $ x $. A fórmula é:
lang<= x rang<=
Mas, como $ \psi_{0}(x) $ é uma função ímpar (simétrica em torno de zero) e $ x $ também é ímpar, o produto é uma função par multiplicada por uma ímpar, que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar de x a lang<= x rang<= = integral-infty^+infty psi0^*(x) , x , psi0(x) dx é zero. Então:
psi0(x)

Passo 5

Agora, vamos para $ \langle p \rangle $, o valor esperado de $ p $. A fórmula usando a representação em posição é:
lang<= p rang<=
Calculando a derivada de $ \psi_{0}(x) $:
p
Substituindo na integral:
lang<= p rang<= = -i hbar integral-infty^+infty psi0^*(x) ddx psi0(x) dx
Mas já vimos que $ \langle x \rangle = 0 $, então:
psi0(x)

Passo 6

Agora vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $. A fórmula é:
lang<= x^2 rang<=
Substituindo $ |\psi_{0}(x)|^2 $:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^+infty psi0^*(x) , x^2 , psi0(x) dx
Sabemos que |psi0(x)|^2 . Aplicando isso:
lang<= x^2 rang<= = A0^2 integral-infty^+infty x^2 e^-m omega x^2 / hbar dx

Passo 7

Por último, vamos para $ \langle p^2 \rangle $. A fórmula é:
lang<= p^2 rang<=
Calculando as derivadas:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^+infty psi0^*(x) , (-hbar^2 d^2dx^2) psi0(x) dx
Substituindo na integral:
d^2dx^2 psi0(x) = (m^2 omega^2 x^2hbar^2 - m omegahbar) psi0(x)
Distribuindo:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 integral-infty^+infty (m^2 omega^2 x^2hbar^2 - m omegahbar) |psi0(x)|^2 dx
Substituindo $ \langle x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $:
lang<= p^2 rang<= = m^2 omega^2 lang<= x^2 rang<= - m omega hbar

Resposta

a) $ \langle x \rangle = 0 $
b) $ \langle p \rangle = 0 $
c) $ \langle x^{2} \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $
d) $ \langle p^{2} \rangle = \frac{m \omega \hbar}{2} $

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