Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
calcule: a)
. b)
. c)
. d)
. Importante: não se esqueça que a função de onda SEMPRE tem que estar normalizada para cálculos de probabilidade. Resposta parcial:
a)
. d)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A gente tem a função de onda do estado fundamental de uma partícula:
O que a gente precisa fazer é calcular os valores esperados de $ x $, $ p $, $ x^2 $ e $ p^2 $. Para isso, vamos precisar entender sobre normalização da função de onda e como calcular os valores esperados usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função de onda está normalizada. Normalizar significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. Matemáticamente, isso é:
Vamos calcular isso para encontrar a constante $ A_{0} $.
Passo 3
Calculando o quadrado da função de onda:
Agora, integramos isso de
a
:
Sabemos que
. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Agora vamos calcular $ \langle x \rangle $, o valor esperado de $ x $. A fórmula é:
Mas, como $ \psi_{0}(x) $ é uma função ímpar (simétrica em torno de zero) e $ x $ também é ímpar, o produto é uma função par multiplicada por uma ímpar, que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar de
a
é zero. Então:
Passo 5
Agora, vamos para $ \langle p \rangle $, o valor esperado de $ p $. A fórmula usando a representação em posição é:
Calculando a derivada de $ \psi_{0}(x) $:
Substituindo na integral:
Mas já vimos que $ \langle x \rangle = 0 $, então:
Passo 6
Agora vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $. A fórmula é:
Substituindo $ |\psi_{0}(x)|^2 $:
Sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 7
Por último, vamos para $ \langle p^2 \rangle $. A fórmula é:
Calculando as derivadas:
Substituindo na integral:
Distribuindo:
Substituindo $ \langle x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $:
Resposta
a) $ \langle x \rangle = 0 $
b) $ \langle p \rangle = 0 $
c) $ \langle x^{2} \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $
d) $ \langle p^{2} \rangle = \frac{m \omega \hbar}{2} $
b) $ \langle p \rangle = 0 $
c) $ \langle x^{2} \rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega} $
d) $ \langle p^{2} \rangle = \frac{m \omega \hbar}{2} $