Um próton está em um poço quadrado infinito de largura L. Consultando o valor da massa do próton em alguma referência confiável, calcule:
(b) A energia do estado fundamental se L=10^-15 m, que é o tamanho típico de um núcleo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um próton dentro de um “poço quadrado infinito”, que é tipo uma caixa onde a partícula fica confinada. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em potenciais de poços infinitos. Para resolver, precisamos saber a massa do próton e a largura do poço, que é L = 10^-15 m.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia dos estados de uma partícula em um poço quadrado infinito é dada pela fórmula:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui, En é a energia do estado n, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula (no caso, o próton), e L é a largura do poço.

Passo 3

Como queremos a energia do estado fundamental, usamos n = 1. Então, a fórmula fica:
E1 = pi^2 hbar^22 m L^2

Passo 4

Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
  • hbar approx 1.0545718 times 10^-34 , J cdot s
  • mpróton approx 1.6726219 times 10^-27 , kgó
  • L = 10^-15 , m

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
E1 = pi^2 (1.0545718 times 10^-34)^22 times 1.6726219 times 10^-27 times (10^-15)^2

Passo 6

Vamos calcular os termos passo a passo:
  1. Calcula hbar^2:
(1.0545718 times 10^-34)^2 approx 1.112 times 10^-68 , J^2 cdot s^2
  1. Calcula 2mL^2:
2 times 1.6726219 times 10^-27 times (10^-15)^2 = 2 times 1.6726219 times 10^-27 times 10^-30 = 3.3452438 times 10^-57 , kg cdot m^2

Passo 7

Agora, divide hbar^2 por 2mL^2:
1.112 times 10^-683.3452438 times 10^-57 approx 3.325 times 10^-12 , J

Passo 8

Por fim, multiplica pelo pi^2:
E1 = pi^2 times 3.325 times 10^-12 approx 3.1416^2 times 3.325 times 10^-12 approx 9.87 times 3.325 times 10^-12 approx 3.28 times 10^-11 , J

Resposta

A energia do estado fundamental é aproximadamente 3.28 times 10^-11 , J.

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