• Um certo equipamento é expedido em lotes de 500 unidades. Antes que uma remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 5 desses equipamentos (com reposição) e os inspeciona. Se nenhum dos equipamentos inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se um ou mais equipamentos forem defeituosos, todas as unidades são inspecionadas. Suponha que existam, de fato, dez equipamentos defeituosos no lote.
  • Qual é a probabilidade de que seja necessário testar todos os equipamentos?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está falando. Temos um lote de 500 equipamentos, dos quais 10 são defeituosos. Antes de aprovar o lote, um inspetor seleciona 5 equipamentos (com reposição) para inspeção. Se nenhum dos 5 for defeituoso, o lote é aprovado. Caso contrário, todas as unidades do lote são inspecionadas. Queremos descobrir a probabilidade de que seja necessário inspecionar todos os equipamentos, ou seja, a probabilidade de encontrar pelo menos um equipamento defeituoso na seleção de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “seleção com reposição”. Isso quer dizer que, após escolher um equipamento para inspeção, ele é colocado de volta no lote antes da próxima seleção. Assim, a probabilidade de escolher um equipamento defeituoso em cada tentativa permanece constante.

Passo 3

Sabemos que há 10 equipamentos defeituosos em um total de 500. Portanto, a probabilidade de selecionar um equipamento defeituoso em uma única tentativa é:
P(defeituoso) = 10500 = 150

Passo 4

Como queremos a probabilidade de não encontrar nenhum defeituoso nas 5 tentativas, calculamos a probabilidade complementar. A probabilidade de selecionar um equipamento não defeituoso em uma tentativa é:
P(não defeituoso) = 1 - P(defeituoso) = 1 - 150 = 4950 ã

Passo 5

Como as seleções são independentes (devido à reposição), a probabilidade de selecionar 5 equipamentos não defeituosos consecutivamente é:
P(nenhum defeituoso em 5 tentativas) = ( 4950 )^5

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade de ter pelo menos um defeituoso nas 5 tentativas (o que significa que todas as unidades serão inspecionadas), usamos a probabilidade complementar:
P(pelo menos um defeituoso) = 1 - ( 4950 )^5

Resposta

A probabilidade de que seja necessário testar todos os equipamentos é aproximadamente 9,59 %.

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