• A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável aleatória Normal de média 60.000 km e desvio padrão 8.300 km .
  • Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km , qual a proporção de pneus que deverão ser trocados pela garantia?
  • O que aconteceria com a proporção do item anterior, se a garantia fosse para os primeiros 45.000 km ?
  • Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2 % dos pneus?
  • Se você comprar 4 pneus Rodabem, qual será a probabilidade de que você utilizará a garantia ( 45.000 km ) para trocar um ou mais destes pneus?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre a durabilidade dos pneus da marca Rodabem. A durabilidade é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média de 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente da distribuição Normal, para responder às perguntas. Precisaremos entender como calcular probabilidades nessa distribuição e usar tabelas ou funções de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km. Queremos saber qual a proporção de pneus que precisará ser trocada dentro dessa garantia. Basicamente, vamos calcular a probabilidade de um pneu durar menos de 48.000 km.

Passo 3

Para calcular isso, usamos a fórmula da pontuação z na distribuição Normal:
z = X - musigma
Onde:
  • z = 48.000 - 60.0008.300 = -12.0008.300 approx -1,4458 é o valor específico (48.000 km),
  • é a média (60.000 km),
  • é o desvio padrão (8.300 km).
Vamos calcular o z:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade correspondente a esse z. Usamos a tabela da distribuição Normal padrão ou uma calculadora de funções acumuladas. A probabilidade de é aproximadamente 0,0745 ou 7,45%. Isso significa que cerca de 7,45% dos pneus precisarão ser trocados na garantia de 48.000 km.

Passo 5

Agora, se a garantia for para os primeiros 45.000 km, repetimos o processo. Primeiro, calculamos o z para 45.000 km:
z = 45.000 - 60.0008.300 = -15.0008.300 approx -1,8072

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição Normal para , encontramos uma probabilidade de aproximadamente 0,0353 ou 3,53%. Assim, se a garantia for para 45.000 km, cerca de 3,53% dos pneus precisarão ser trocados.

Passo 7

Para determinar qual deveria ser a garantia para que no máximo 2% dos pneus sejam trocados, precisamos encontrar o valor de tal que . Primeiro, encontramos o z correspondente a 2%, que é aproximadamente -2,054 (usando a tabela ou uma calculadora de distribuição acumulada).

Passo 8

Agora, usamos a fórmula inversa para encontrar X = mu + z times sigma :
X = 60.000 + (-2,054) times 8.300 approx 60.000 - 17.034,2 approx 42.965,8
Substituindo os valores:
Arredondando, a garantia deveria ser de aproximadamente 43.000 km para garantir que no máximo 2% dos pneus sejam trocados.

Passo 9

Por fim, se você comprar 4 pneus e a garantia é de 45.000 km, queremos saber a probabilidade de que pelo menos um desses pneus precise ser trocado. Primeiro, encontramos a probabilidade de um pneu não precisar ser trocado: .

Passo 10

A probabilidade de nenhum dos 4 pneus precisar ser trocado é ou 85,9%. Portanto, a probabilidade de que um ou mais pneus precisem ser trocados é ou 14,1%.

Resposta

  1. Aproximadamente 7,45% dos pneus deverão ser trocados pela garantia de 48.000 km.
  2. Com a garantia de 45.000 km, cerca de 3,53% dos pneus precisarão ser trocados.
  3. A garantia deveria ser de aproximadamente 43.000 km para assegurar que no máximo 2% dos pneus sejam trocados.
  4. A probabilidade de que, ao comprar 4 pneus, você precisará trocar um ou mais pneus pela garantia de 45.000 km é de aproximadamente 14,1%.

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