• Verifique se são validas as afirmações seguintes:
  • Se P(A)=1 / 3 e P(B mid A)=3 / 5 então A e B não podem ser disjuntos.
  • Se P(A)=1 / 2 e P(B mid A)=1 e P(A mid B)=1 / 2 então A não pode estar contido em B.

Passo 1

Vamos entender as afirmações que precisamos verificar. Estamos lidando com Probabilidade, especificamente com probabilidades condicionais. Precisamos verificar duas afirmações:
  1. Se e , então e não podem ser disjuntos.
  2. Se , e , então não pode estar contido em .
Vamos resolver cada uma passo a passo, explicando a teoria necessária.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa eventos serem disjuntos. Dois eventos são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, P(B mid A) = P(A cap B)P(A) .
Dado que , isso representa a probabilidade de ocorrer dado que ocorreu. A fórmula da probabilidade condicional é:
Vamos calcular .

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
35 = P(A cap B)13
Multiplicando ambos os lados por P(A cap B) = 35 times 13 = 15 :
Então, .

Passo 4

Como obtivemos e não zero, isso significa que e podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, eles não são disjuntos.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda afirmação. Queremos verificar se P(B mid A) = 1 implies P(A cap B) = P(A) = 12 pode estar contido em P(A mid B) = P(A cap B)P(B) = 12 . Se 12 = 12P(B) implies P(B) = 1 estiver contido em , então todo evento também seria um evento , ou seja, .
Sabemos que:
Além disso, . Usando a fórmula da probabilidade condicional novamente:
Substituindo :
Então, , o que significa que é um evento certo (sempre ocorre).

Passo 6

Se e , isso implicaria que , o que já foi confirmado. No entanto, a condição sugere que, mesmo que sempre ocorra, a probabilidade de ocorrer dentro de �� .
Isso significa que não está completamente contido em , já que há uma probabilidade de de ocorrer dentro de . Portanto, não pode estar totalmente contido em .

Resposta

Ambas as afirmações são válidas:
  1. Se e , então e não são disjuntos.
  2. Se , e , então não pode estar contido em .

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