Em um certo escoamento bidimensional, as linhas de pressão constante, ou isóbaras, são dadas por po-B z+C x^2=c t e B e C sâo constante e po é a pressão na origem (x, z)=0. Encontre uma expressão para a família de linhas que são sempre paralelas ao gradiente de pressão local nabla p बu seja encontre uma expressão x=f(z).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Temos um escoamento bidimensional onde as linhas de pressão constante (isóbaras) são dadas por uma equação que envolve as variáveis e . Nosso objetivo é encontrar uma expressão para linhas que são sempre paralelas ao gradiente de pressão local . Essencialmente, queremos descobrir uma função que descreva essas linhas paralelas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o cálculo de gradientes e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação das isóbaras fornecida no enunciado:
p0 - B z + C x^2 = constante cdot B
Aqui:
  • é a pressão na origem ,
  • e são constantes,
  • e são as coordenadas no escoamento.

Passo 3

Para achar o gradiente de pressão p = p0 - B z + C x^2 , precisamos derivar a expressão da pressão em relação a partial ppartial x = 2C x e partial ppartial z = -B e nabla p = ( 2C x, -B ) . A pressão pode ser isolada da equação das isóbaras:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Assim, o gradiente de pressão é:

Passo 4

Queremos que as linhas dxdz sejam paralelas ao gradiente de pressão 2C x-B = -2CB x . Para que duas curvas sejam paralelas, suas inclinações devem ser iguais. A inclinação da curva dxdz = -2CB x é dada por:
E a inclinação do gradiente de pressão é a razão das suas componentes:
Portanto, devemos igualar as duas inclinações:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial:
dxdz = -2CB x
Essa é uma equação diferencial linear e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar dxx = -2CB dz e ln |x| = -2CB z + K :
x = A e^ -2CB z
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A expressão das linhas paralelas ao gradiente de pressão local é:
x = A e^ -2CB z

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