Em um certo escoamento bidimensional, as linhas de pressão constante, ou isóbaras, são dadas por
e
sâo constante e
é a pressão na origem
. Encontre uma expressão para a família de linhas que são sempre paralelas ao gradiente de pressão local
बu seja encontre uma expressão
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Temos um escoamento bidimensional onde as linhas de pressão constante (isóbaras) são dadas por uma equação que envolve as variáveis
e
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para linhas que são sempre paralelas ao gradiente de pressão local
. Essencialmente, queremos descobrir uma função
que descreva essas linhas paralelas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o cálculo de gradientes e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação das isóbaras fornecida no enunciado:
Aqui:
-
é a pressão na origem , -
e são constantes, -
e são as coordenadas no escoamento.
Passo 3
Para achar o gradiente de pressão
, precisamos derivar a expressão da pressão em relação a
e
. A pressão
pode ser isolada da equação das isóbaras:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Assim, o gradiente de pressão é:
Passo 4
Queremos que as linhas
sejam paralelas ao gradiente de pressão
. Para que duas curvas sejam paralelas, suas inclinações devem ser iguais. A inclinação da curva
é dada por:
E a inclinação do gradiente de pressão é a razão das suas componentes:
Portanto, devemos igualar as duas inclinações:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar
e
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A expressão das linhas paralelas ao gradiente de pressão local é: