Em um certo escoamento bidimensional, as linhas de pressão constante, ou isóbaras, são dadas por e sâo constante e é a pressão na origem . Encontre uma expressão para a família de linhas que são sempre paralelas ao gradiente de pressão local बu seja encontre uma expressão .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Temos um escoamento bidimensional onde as linhas de pressão constante (isóbaras) são dadas por uma equação que envolve as variáveis e . Nosso objetivo é encontrar uma expressão para linhas que são sempre paralelas ao gradiente de pressão local . Essencialmente, queremos descobrir uma função que descreva essas linhas paralelas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o cálculo de gradientes e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação das isóbaras fornecida no enunciado:
Aqui:
  • é a pressão na origem ,
  • e são constantes,
  • e são as coordenadas no escoamento.

Passo 3

Para achar o gradiente de pressão , precisamos derivar a expressão da pressão em relação a e . A pressão pode ser isolada da equação das isóbaras:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Assim, o gradiente de pressão é:

Passo 4

Queremos que as linhas sejam paralelas ao gradiente de pressão . Para que duas curvas sejam paralelas, suas inclinações devem ser iguais. A inclinação da curva é dada por:
E a inclinação do gradiente de pressão é a razão das suas componentes:
Portanto, devemos igualar as duas inclinações:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos rearranjar para separar e :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A expressão das linhas paralelas ao gradiente de pressão local é:

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