O peso especifico da agua do mar pode ser calculado pela relação empírica gamma= gamma0+K raizh, onde h é a profundidade abaixo da superfície livre. Obtenha uma relação para a pressão em função da profundidade h e calcule o peso especifico e a pressão uma profundidade de h=3,22 km supondo gamma0=10^4 N / m^3 e K=7,08 N / m^7 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como calcular a pressão da água do mar em função da profundidade. A gente tem uma fórmula empírica que relaciona o peso específico da água ( gamma) com a profundidade ( h). Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão está ligada ao peso específico e integrar essa relação para achar a pressão em qualquer profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é pressão. Pressão ( P) é basicamente a força exercida por unidade de área. No contexto da água do mar, a pressão aumenta conforme você vai ficando mais fundo. Para calcular essa pressão, a gente integra o peso específico ( gamma) da água desde a superfície até a profundidade h.

Passo 3

A equação dada é gamma = gamma0 + K raizh. Aqui, gamma0 é o peso específico na superfície e K é uma constante que ajusta como o peso específico muda com a profundidade. Para achar a pressão, precisamos integrar essa expressão em relação a h.

Passo 4

Vamos montar a integral para a pressão:
P(h) = integral0^h gamma , dh = integral0^h (gamma0 + K raizh) , dh
Isso significa que vamos somar todo o peso específico desde a superfície até a profundidade h.

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
P(h) = integral0^h gamma0 , dh + integral0^h K raizh , dh
A primeira integral é simples, e para a segunda, lembramos que a integral de h^1/2 é 23 h^3/2.

Passo 6

Calculando as integrais:
P(h) = gamma0 h + K ( 23 h^3/2 )
Então, a relação da pressão em função da profundidade fica:
P(h) = gamma0 h + 23 K h^3/2

Passo 7

Agora, vamos calcular a pressão e o peso específico na profundidade de h = 3,22, km. Primeiro, precisamos converter a profundidade para metros: 3,22, km = 3220, m.

Passo 8

Vamos calcular o peso específico na profundidade h = 3220, m usando a fórmula dada:
gamma = gamma0 + K raizh = 10^4, Nm^3 + 7,08, Nm^7/2 times raiz3220, m

Passo 9

Calculando raiz3220:
raiz3220 approx 56,76, m^1/2
Então:
gamma = 10^4 + 7,08 times 56,76 approx 10^4 + 402,35 approx 10402,35, Nm^3

Passo 10

Agora, vamos calcular a pressão usando a relação que encontramos:
P(3220) = gamma0 h + 23 K h^3/2
Substituindo os valores:
P(3220) = 10^4 times 3220 + 23 times 7,08 times (3220)^3/2

Passo 11

Primeiro, calculamos 3220^3/2:
3220^3/2 = 3220 times raiz3220 approx 3220 times 56,76 approx 182,743.2, m^3/2
Então:
P(3220) = 10^4 times 3220 + 23 times 7,08 times 182743.2
Calculando cada parte:
10^4 times 3220 = 3,220 times 10^7, N/m^2
23 times 7,08 times 182743.2 approx 2/3 times 7,08 times 182743.2 approx 86493,49, N/m^2

Passo 12

Somando as duas partes:
P(3220) approx 3,220 times 10^7 + 86493,49 approx 3,22086493 times 10^7, N/m^2
Arredondando:
P(3220) approx 3,2209 times 10^7, N/m^2

Resposta

O peso específico da água do mar a uma profundidade de 3,22, km é aproximadamente 10402,35, N/m^3, e a pressão nessa profundidade é cerca de 3,2209 times 10^7, N/m^2.

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