Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade 80 % de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade 70 % de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de 20 %, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
a) qual é a probabilidade do resultado ser positivo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem um exame que detecta uma doença com algumas probabilidades:
  • Sensitividade: 80% de chance de dar positivo se a pessoa realmente tem a doença.
  • Especificidade: 70% de chance de dar negativo se a pessoa não tem a doença.
  • Incidência da doença na população: 20%, ou seja, 20% das pessoas têm a doença.
Queremos descobrir: Qual é a probabilidade do resultado do exame ser positivo?
Para resolver isso, vamos usar um conceito chamado Probabilidade Total, que ajuda a considerar todas as formas possíveis de um evento ocorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dois cenários possíveis que levam a um resultado positivo:
  1. A pessoa tem a doença e o exame dá positivo.
  2. A pessoa não tem a doença, mas o exame dá positivo mesmo assim (falso positivo).
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários.

Passo 3

1. Pessoa tem a doença e exame dá positivo:
  • Probabilidade de ter a doença (P(D)): 20% ou 0,2.
  • Probabilidade do exame dar positivo dado que tem a doença (P(Pos | D)): 80% ou 0,8.
Então, a probabilidade desse cenário é:
P(D) times P(Pos | D) = 0,2 times 0,8 = 0,16

Passo 4

2. Pessoa não tem a doença, mas exame dá positivo:
  • Probabilidade de não ter a doença (P(ND)): 80% ou 0,8.
  • Probabilidade do exame dar positivo dado que não tem a doença (P(Pos | ND)): Como a especificidade é 70% para dar negativo, a probabilidade de dar positivo é 30% ou 0,3.
Então, a probabilidade desse cenário é:
P(ND) times P(Pos | ND) = 0,8 times 0,3 = 0,24

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade total do exame dar positivo, somamos as duas probabilidades que calculamos:
P(Pos) = P(D) times P(Pos | D) + P(ND) times P(Pos | ND)
P(Pos) = 0,16 + 0,24 = 0,4

Resposta

A probabilidade do resultado do exame ser positivo é de 40%.

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