Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade
de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade
de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de
, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)?
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade envolvendo exames médicos. O enunciado nos dá informações sobre a sensibilidade e especificidade de um exame, além da incidência da doença na população. Vamos precisar usar a teoria de probabilidade condicional, especificamente o Teorema de Bayes, para encontrar a probabilidade de um paciente não ter a doença, mesmo com o resultado positivo no exame (falso-positivo).
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos:
-
Sensibilidade: É a probabilidade do exame dar positivo quando a pessoa realmente tem a doença. Aqui, é 80%, ou seja,
. -
Especificidade: É a probabilidade do exame dar negativo quando a pessoa não tem a doença. Aqui, é 70%, então
. -
Incidência da doença: É a probabilidade de uma pessoa aleatória ter a doença na população, que é 20%, ou
. Portanto, a probabilidade de não ter a doença é .
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame foi positivo, ou seja,
.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar nossas probabilidades com base em novas informações. A fórmula do Teorema de Bayes é:
No nosso caso:
-
é “Não Doente” -
é “Positivo”
Então:
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
: Essa é a probabilidade de o exame dar positivo mesmo quando a pessoa não tem a doença, ou seja, a taxa de falso-positivo. Como a especificidade é 70%, a taxa de falso-positivo é . -
: Já sabemos que é 0,8. -
: Essa é a probabilidade geral de o exame dar positivo, que pode ocorrer de duas maneiras: - A pessoa tem a doença e o exame acerta (sensibilidade).
- A pessoa não tem a doença e o exame erra (falso-positivo).
Então:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade do paciente não ter a doença, dado que o exame foi positivo, é de 60%.
Exercícios relacionados
Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
a) Efetuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo?
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
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O distúrbio de Hiperatividade com Déficit de Atenção, DHDA, é uma desordem que afeta entre 3 e 10% das crianças em idade escolar. Assumindo que essa probabilidade seja
estimar:
iii. Duas crianças escolhidas ao acaso não apresentem DHDA;
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iv. Em duas crianças escolhidas ao acaso, uma apresente DHDA;
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b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;
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