Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade 80 % de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade 70 % de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de 20 %, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade envolvendo exames médicos. O enunciado nos dá informações sobre a sensibilidade e especificidade de um exame, além da incidência da doença na população. Vamos precisar usar a teoria de probabilidade condicional, especificamente o Teorema de Bayes, para encontrar a probabilidade de um paciente não ter a doença, mesmo com o resultado positivo no exame (falso-positivo).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos:
  • Sensibilidade: É a probabilidade do exame dar positivo quando a pessoa realmente tem a doença. Aqui, é 80%, ou seja, .
  • Especificidade: É a probabilidade do exame dar negativo quando a pessoa não tem a doença. Aqui, é 70%, então ã.
  • Incidência da doença: É a probabilidade de uma pessoa aleatória ter a doença na população, que é 20%, ou . Portanto, a probabilidade de não ter a doença é ã.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame foi positivo, ou seja, P(A | B) = P(B | A) cdot P(A)P(B) ã.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar nossas probabilidades com base em novas informações. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(Não Doente | Positivo) = P(Positivo | Não Doente) cdot P(Não Doente)P(Positivo)
No nosso caso:
  • é “Não Doente”
  • é “Positivo”
Então:
ããã

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. P(Positivo) = P(Positivo | Doente) cdot P(Doente) + P(Positivo | Não Doente) cdot P(Não Doente) ã: Essa é a probabilidade de o exame dar positivo mesmo quando a pessoa não tem a doença, ou seja, a taxa de falso-positivo. Como a especificidade é 70%, a taxa de falso-positivo é P(Positivo) = 0,8 cdot 0,2 + 0,3 cdot 0,8 = 0,16 + 0,24 = 0,4 .
  2. ã: Já sabemos que é 0,8.
  3. : Essa é a probabilidade geral de o exame dar positivo, que pode ocorrer de duas maneiras:
    • A pessoa tem a doença e o exame acerta (sensibilidade).
    • A pessoa não tem a doença e o exame erra (falso-positivo).
Então:
ãã

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do Teorema de Bayes:
P(Não Doente | Positivo) = 0,3 cdot 0,80,4 = 0,240,4 = 0,6 ã

Resposta

A probabilidade do paciente não ter a doença, dado que o exame foi positivo, é de 60%.

Exercícios relacionados