Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de , sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade envolvendo exames médicos. O enunciado nos dá informações sobre a sensibilidade e especificidade de um exame, além da incidência da doença na população. Vamos precisar usar a teoria de probabilidade condicional, especificamente o Teorema de Bayes, para encontrar a probabilidade de um paciente não ter a doença, mesmo com o resultado positivo no exame (falso-positivo).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos:
  • Sensibilidade: É a probabilidade do exame dar positivo quando a pessoa realmente tem a doença. Aqui, é 80%, ou seja, .
  • Especificidade: É a probabilidade do exame dar negativo quando a pessoa não tem a doença. Aqui, é 70%, então ã.
  • Incidência da doença: É a probabilidade de uma pessoa aleatória ter a doença na população, que é 20%, ou . Portanto, a probabilidade de não ter a doença é ã.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de a pessoa não ter a doença dado que o exame foi positivo, ou seja, ã.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar nossas probabilidades com base em novas informações. A fórmula do Teorema de Bayes é:
No nosso caso:
  • é “Não Doente”
  • é “Positivo”
Então:
ããã

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. ã: Essa é a probabilidade de o exame dar positivo mesmo quando a pessoa não tem a doença, ou seja, a taxa de falso-positivo. Como a especificidade é 70%, a taxa de falso-positivo é .
  2. ã: Já sabemos que é 0,8.
  3. : Essa é a probabilidade geral de o exame dar positivo, que pode ocorrer de duas maneiras:
    • A pessoa tem a doença e o exame acerta (sensibilidade).
    • A pessoa não tem a doença e o exame erra (falso-positivo).
Então:
ãã

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do Teorema de Bayes:
ã

Resposta

A probabilidade do paciente não ter a doença, dado que o exame foi positivo, é de 60%.

Exercícios relacionados

Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
a) Efetuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo?
O distúrbio de Hiperatividade com Déficit de Atenção, DHDA, é uma desordem que afeta entre 3 e 10% das crianças em idade escolar. Assumindo que essa probabilidade seja estimar:
iii. Duas crianças escolhidas ao acaso não apresentem DHDA;
O distúrbio de Hiperatividade com Déficit de Atenção, DHDA, é uma desordem que afeta entre 3 e 10% das crianças em idade escolar. Assumindo que essa probabilidade seja estimar:
iv. Em duas crianças escolhidas ao acaso, uma apresente DHDA;
Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;