Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de uma pessoa ter uma doença dado que o teste dela deu positivo. Temos que entender quem está doente e as chances do teste identificar isso. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades que temos:
- P(D): Probabilidade de uma pessoa ter a doença = 10% ou 0,10.
- Dentro dessa 10%, temos:
- P(D_grave): 6% ou 0,06 (forma grave).
- P(D_moderada): 4% ou 0,04 (forma moderada).
- Dentro dessa 10%, temos:
- P(Pos|D_grave): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem doença grave = 1.
- P(Pos|D_moderada): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem doença moderada = 0,75.
- P(Pos|¬D): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa não tem a doença = 0,05.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a probabilidade total do teste dar positivo, independentemente de a pessoa estar doente ou não. Isso é dado por:
Onde P(¬D) é a probabilidade de a pessoa não ter a doença, que é 1 - P(D) = 0,90.
Passo 4
Vamos calcular P(Pos) com os valores que temos:
Então, a probabilidade total do teste dar positivo é 13,5%.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de a pessoa estar doente dado que o teste foi positivo:
Aqui, P(Pos|D) é a probabilidade do teste ser positivo se a pessoa está doente, que é a soma das probabilidades das formas grave e moderada:
Agora, substituindo na fórmula:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o teste deu positivo é de aproximadamente 66,67%.
Exercícios relacionados
O distúrbio de Hiperatividade com Déficit de Atenção, DHDA, é uma desordem que afeta entre 3 e 10% das crianças em idade escolar. Assumindo que essa probabilidade seja
estimar:
iv. Em duas crianças escolhidas ao acaso, uma apresente DHDA;
iv. Em duas crianças escolhidas ao acaso, uma apresente DHDA;
Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade
de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade
de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de
, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)?
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)?
Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade
de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade
de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de
, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?
Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade de o teste dar negativo para individuos que tenham a doença?
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade de o teste dar negativo para individuos que tenham a doença?