Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de uma pessoa ter uma doença dado que o teste dela deu positivo. Temos que entender quem está doente e as chances do teste identificar isso. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades que temos:
  • P(D): Probabilidade de uma pessoa ter a doença = 10% ou 0,10.
    • Dentro dessa 10%, temos:
      • P(D_grave): 6% ou 0,06 (forma grave).
      • P(D_moderada): 4% ou 0,04 (forma moderada).
  • P(Pos|D_grave): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem doença grave = 1.
  • P(Pos|D_moderada): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem doença moderada = 0,75.
  • P(Pos|¬D): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa não tem a doença = 0,05.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade total do teste dar positivo, independentemente de a pessoa estar doente ou não. Isso é dado por:
P(Pos) = P(Pos|Dgrave) times P(Dgrave) + P(Pos|Dmoderada) times P(Dmoderada) + P(Pos|¬D) times P(¬D)
Onde P(¬D) é a probabilidade de a pessoa não ter a doença, que é 1 - P(D) = 0,90.

Passo 4

Vamos calcular P(Pos) com os valores que temos:
P(Pos) = (1 times 0,06) + (0,75 times 0,04) + (0,05 times 0,90)
P(Pos) = 0,06 + 0,03 + 0,045 = 0,135
Então, a probabilidade total do teste dar positivo é 13,5%.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de a pessoa estar doente dado que o teste foi positivo:
P(D|Pos) = P(Pos|D) times P(D)P(Pos)
Aqui, P(Pos|D) é a probabilidade do teste ser positivo se a pessoa está doente, que é a soma das probabilidades das formas grave e moderada:
P(Pos|D) = P(Pos|Dgrave) times P(Dgrave) + P(Pos|Dmoderada) times P(Dmoderada) = 1 times 0,06 + 0,75 times 0,04 = 0,06 + 0,03 = 0,09
Agora, substituindo na fórmula:
P(D|Pos) = 0,090,135 approx 0,6667

Resposta

A probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o teste deu positivo é de aproximadamente 66,67%.

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