Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de uma pessoa ter uma doença dado que o teste dela deu positivo. Temos que entender quem está doente e as chances do teste identificar isso. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades que temos:
- P(D): Probabilidade de uma pessoa ter a doença = 10% ou 0,10.
- Dentro dessa 10%, temos:
- P(D_grave): 6% ou 0,06 (forma grave).
- P(D_moderada): 4% ou 0,04 (forma moderada).
- Dentro dessa 10%, temos:
- P(Pos|D_grave): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem doença grave = 1.
- P(Pos|D_moderada): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem doença moderada = 0,75.
- P(Pos|¬D): Probabilidade do teste ser positivo se a pessoa não tem a doença = 0,05.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a probabilidade total do teste dar positivo, independentemente de a pessoa estar doente ou não. Isso é dado por:
Onde P(¬D) é a probabilidade de a pessoa não ter a doença, que é 1 - P(D) = 0,90.
Passo 4
Vamos calcular P(Pos) com os valores que temos:
Então, a probabilidade total do teste dar positivo é 13,5%.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de a pessoa estar doente dado que o teste foi positivo:
Aqui, P(Pos|D) é a probabilidade do teste ser positivo se a pessoa está doente, que é a soma das probabilidades das formas grave e moderada:
Agora, substituindo na fórmula:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o teste deu positivo é de aproximadamente 66,67%.