Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
a) Efetuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que 10% da população de um país tem uma certa doença, sendo 6% de forma grave e 4% de forma moderada. A gente vai fazer um teste para diagnosticar essa doença, e o teste pode dar positivo de diferentes maneiras dependendo do estado da saúde da pessoa. O objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de um teste dar positivo quando a gente escolhe uma pessoa qualquer ao acaso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Probabilidade de estar gravemente doente (G): 6% ou 0,06.
  • Probabilidade de estar moderadamente doente (M): 4% ou 0,04.
  • Probabilidade de não estar doente (N): 90% ou 0,90 (já que 100% - 10% = 90%).
Agora, vamos analisar as probabilidades de o teste dar positivo em cada caso:
  • Se a pessoa está gravemente doente, a probabilidade do teste dar positivo (P⁺|G): 1 ou 100%.
  • Se a pessoa está moderadamente doente, a probabilidade do teste dar positivo (P⁺|M): 0,75 ou 75%.
  • Se a pessoa não está doente, a probabilidade do teste dar positivo (P⁺|N): 0,05 ou 5%.

Passo 3

A probabilidade total de o teste dar positivo é a soma das probabilidades de cada cenário multiplicado pela probabilidade desse cenário ocorrer. Isso é conhecido como regra da probabilidade total.
Matematicamente, podemos escrever isso assim:
P(Teste positivo) = P(G) times P(P⁺|G) + P(M) times P(P⁺|M) + P(N) times P(P⁺|N)

Passo 4

Vamos agora substituir os valores que temos nessa fórmula:
P(Teste positivo) = (0,06) times (1) + (0,04) times (0,75) + (0,90) times (0,05)

Passo 5

Fazendo as multiplicações:
P(Teste positivo) = 0,06 + 0,03 + 0,045

Passo 6

Agora, somamos esses valores para obter a probabilidade total:
P(Teste positivo) = 0,135

Resposta

A probabilidade de o teste dar positivo em um indivíduo escolhido ao acaso é de 13,5%.

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