Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade
de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade
de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de
, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exame que detecta uma certa doença com:
- Sensitividade: 80% de chance de dar positivo se a pessoa realmente tem a doença.
- Especificidade: 70% de chance de dar negativo se a pessoa não tem a doença.
- Incidência: 20% da população tem a doença.
A pergunta é: se a gente selecionar 20 pacientes que tiveram resultado positivo nesse exame, qual a probabilidade de pelo menos 3 deles não terem a doença? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e distribuição binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é probabilidade condicional. Isso significa calcular a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de uma pessoa não ter a doença, dado que o exame deu positivo.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Passo 3
Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
-
Probabilidade de Não Doente: Como 20% têm a doença, 80% não têm.
-
Probabilidade de Positivo dado Não Doente: Isso é o falso positivo, que é
. -
Probabilidade de Positivo: Calculamos usando a Lei da Probabilidade Total.Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então, cada pessoa que teve o exame positivo tem 60% de chance de não ter a doença.
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de, em 20 pacientes que deram positivo, pelo menos 3 não terem a doença. Isso é uma situação de distribuição binomial, onde cada tentativa (cada paciente) tem duas possibilidades: ser falso positivo ou não.
Definimos:
-
(número de pacientes) -
(probabilidade de um paciente ser falso positivo)
A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de ter exatamente
sucessos (neste caso, falsos positivos) em
tentativas.
Passo 6
Queremos
, ou seja, a probabilidade de pelo menos 3 pacientes não terem a doença. Isso é igual a:
Vamos calcular cada termo:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Calculando os valores:
Usando uma calculadora ou software para precisão:
Somando:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 3 dos 20 pacientes com resultado positivo não sejam portadores da doença é aproximadamente
ou 99,996%.
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e
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p e
. Calcule
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e
sejam mutuamente exclusivos.