Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade 80 % de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade 70 % de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de 20 %, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exame que detecta uma certa doença com:
  • Sensitividade: 80% de chance de dar positivo se a pessoa realmente tem a doença.
  • Especificidade: 70% de chance de dar negativo se a pessoa não tem a doença.
  • Incidência: 20% da população tem a doença.
A pergunta é: se a gente selecionar 20 pacientes que tiveram resultado positivo nesse exame, qual a probabilidade de pelo menos 3 deles não terem a doença? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é probabilidade condicional. Isso significa calcular a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de uma pessoa não ter a doença, dado que o exame deu positivo.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
P(Não Doente mid Positivo) = P(Positivo mid Não Doente) times P(Não Doente)P(Positivo) ããã

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. Probabilidade de Não Doente: Como 20% têm a doença, 80% não têm.
    P(Não Doente) = 0.8 ã
  2. Probabilidade de Positivo dado Não Doente: Isso é o falso positivo, que é P(Positivo mid Não Doente) = 1 - 0.7 = 0.3 .
    P(Positivo) = P(Positivo mid Doente) times P(Doente) + P(Positivo mid Não Doente) times P(Não Doente) ã
  3. Probabilidade de Positivo: Calculamos usando a Lei da Probabilidade Total.
    P(Positivo) = 0.8 times 0.2 + 0.3 times 0.8 = 0.16 + 0.24 = 0.4 ãã
    Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular P(Não Doente mid Positivo) = 0.3 times 0.80.4 = 0.240.4 = 0.6 ã:
ã
Então, cada pessoa que teve o exame positivo tem 60% de chance de não ter a doença.

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de, em 20 pacientes que deram positivo, pelo menos 3 não terem a doença. Isso é uma situação de distribuição binomial, onde cada tentativa (cada paciente) tem duas possibilidades: ser falso positivo ou não.
Definimos:
  • (número de pacientes)
  • (probabilidade de um paciente ser falso positivo)
A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de ter exatamente sucessos (neste caso, falsos positivos) em tentativas.

Passo 6

Queremos P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] , ou seja, a probabilidade de pelo menos 3 pacientes não terem a doença. Isso é igual a:
P(X=0) = binom200 times (0.6)^0 times (0.4)^20 = 1 times 1 times (0.4)^20
Vamos calcular cada termo:
  1. P(X=1) = binom201 times (0.6)^1 times (0.4)^19 = 20 times 0.6 times (0.4)^19 :
P(X=2) = binom202 times (0.6)^2 times (0.4)^18 = 190 times (0.6)^2 times (0.4)^18
  1. :
  1. :

Passo 7

Calculando os valores:
Usando uma calculadora ou software para precisão:
P(X=0) approx (0.4)^20 approx 1.0995 times 10^-7
P(X=1) approx 20 times 0.6 times (0.4)^19 approx 3.298 times 10^-6
P(X=2) approx 190 times 0.36 times (0.4)^18 approx 3.690 times 10^-5
Somando:
P(X < 3) = 1.0995 times 10^-7 + 3.298 times 10^-6 + 3.690 times 10^-5 approx 3.988 times 10^-5

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 3 dos 20 pacientes com resultado positivo não sejam portadores da doença é aproximadamente ou 99,996%.

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