Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade de o teste dar negativo para individuos que tenham a doença?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Em um país, 10% da população tem uma certa doença, sendo 6% em forma grave e 4% em forma moderada. Existe um teste diagnóstico que retorna positivo com diferentes probabilidades dependendo da condição da pessoa:
  • Probabilidade de 1 para doença grave;
  • Probabilidade de 0,75 para doença moderada;
  • Probabilidade de 0,05 para indivíduos sem a doença.
Queremos encontrar a probabilidade de o teste dar negativo para indivíduos que realmente têm a doença. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade condicional e leis de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a probabilidade negativa do teste para quem tem a doença. Se alguém tem a doença grave ou moderada, o teste pode dar positivo ou negativo. Queremos saber a chance de dar negativo, ou seja, a probabilidade complementar de dar positivo.
A fórmula para probabilidade complementar é:

Passo 3

Sabemos que 10% da população está doente, divididos em 6% graves e 4% moderados. Vamos calcular a probabilidade de o teste dar positivo para alguém que tem a doença, considerando as duas formas:
Substituindo os valores:
Aqui, converti as porcentagens de 6% e 4% para proporções relativas dentro do grupo de doentes (0.6 e 0.4 respectivamente).

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da probabilidade complementar:

Resposta

A probabilidade de o teste dar negativo para indivíduos que têm a doença é de 10%.

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Certo exame para deteção de determinada doença tem probabilidade de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de , sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?
Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença;
b) (3 pontos) Sejam e eventos tais que p e . Calcule tal que e sejam mutuamente exclusivos.
a) (4 pontos) A probabilidade de um ventilador da marca PauloFan apresentar defeito ao ser acionado é . Em um auditório há 500 ventiladores dessa marca. Qual é a probabilidade de todos esses ventiladores apresentarem defeito ao serem acionados?