Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade de o teste dar negativo para individuos que tenham a doença?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Em um país, 10% da população tem uma certa doença, sendo 6% em forma grave e 4% em forma moderada. Existe um teste diagnóstico que retorna positivo com diferentes probabilidades dependendo da condição da pessoa:
  • Probabilidade de 1 para doença grave;
  • Probabilidade de 0,75 para doença moderada;
  • Probabilidade de 0,05 para indivíduos sem a doença.
Queremos encontrar a probabilidade de o teste dar negativo para indivíduos que realmente têm a doença. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade condicional e leis de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a probabilidade negativa do teste para quem tem a doença. Se alguém tem a doença grave ou moderada, o teste pode dar positivo ou negativo. Queremos saber a chance de dar negativo, ou seja, a probabilidade complementar de dar positivo.
A fórmula para probabilidade complementar é:
P(Negativo | Doente) = 1 - P(Positivo | Doente)

Passo 3

Sabemos que 10% da população está doente, divididos em 6% graves e 4% moderados. Vamos calcular a probabilidade de o teste dar positivo para alguém que tem a doença, considerando as duas formas:
P(Positivo | Doente) = P(Positivo | Grave) times P(Grave) + P(Positivo | Moderada) times P(Moderada)
Substituindo os valores:
P(Positivo | Doente) = 1 times 0.6 + 0.75 times 0.4 = 0.6 + 0.3 = 0.9
Aqui, converti as porcentagens de 6% e 4% para proporções relativas dentro do grupo de doentes (0.6 e 0.4 respectivamente).

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da probabilidade complementar:
P(Negativo | Doente) = 1 - 0.9 = 0.1

Resposta

A probabilidade de o teste dar negativo para indivíduos que têm a doença é de 10%.

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