Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente,
bolas azuis e
bolas amarelas.
Denote por
e
o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após i repetições do experimento.
9a
Encontre as funções de probabilidade conjunta de
, para cada
.
Denote por
9a
Encontre as funções de probabilidade conjunta de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma urna que inicialmente contém
bolas azuis e
bolas amarelas. O experimento consiste em sortear uma bola, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Isso é feito 3 vezes. Queremos encontrar as funções de probabilidade conjunta de
(total de bolas azuis) e
(total de bolas amarelas) após cada uma das 3 repetições.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade condicional e processos de reforço, especialmente o Modelo de Urna de Polya. Vamos passo a passo descobrir como as bolas aumentam e como isso afeta as probabilidades em cada etapa.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira repetição (
). Inicialmente, temos
bolas azuis e
bolas amarelas, totalizando
bolas na urna.
Quando sorteamos uma bola:
- A probabilidade de tirar uma bola azul é
. - A probabilidade de tirar uma bola amarela é
.
Após devolver a bola sorteada junto com outra da mesma cor:
- Se tiramos uma azul, passamos a ter
bolas azuis e amarelas. - Se tiramos uma amarela, temos
bolas azuis e amarelas.
Então, para
, as combinações possíveis são:
-
, com probabilidade . -
, com probabilidade .
Passo 3
Agora, vamos para a segunda repetição (
). Dependendo do resultado da primeira repetição, teremos dois cenários:
Caso 1: Após a primeira repetição, temos
bolas azuis e
amarelas.
- Probabilidade de tirar uma bola azul agora é
. - Probabilidade de tirar uma bola amarela é
. - Se tirarmos uma azul, teremos
bolas azuis e amarelas. - Se tirarmos uma amarela, teremos
bolas azuis e amarelas.
Caso 2: Após a primeira repetição, temos
bolas azuis e
amarelas.
- Probabilidade de tirar uma bola azul agora é
. - Probabilidade de tirar uma bola amarela é
. - Se tirarmos uma azul, teremos
bolas azuis e amarelas. - Se tirarmos uma amarela, teremos
bolas azuis e amarelas.
Para encontrar a função de probabilidade conjunta após
, precisamos considerar as probabilidades condicionais de cada cenário.
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades para cada combinação possível após
:
-
, : - Primeiro sorteia azul (
), depois sorteia azul novamente ( ). - Probabilidade:
.
- Primeiro sorteia azul (
-
, : - Pode acontecer de duas formas:
- Primeiro sorteia azul, depois amarelo.
- Primeiro sorteia amarelo, depois azul.
- Probabilidade:
- Azul depois amarelo:
. - Amarelo depois azul:
.
- Azul depois amarelo:
- Total:
.
- Pode acontecer de duas formas:
-
, : - Primeiro sorteia amarelo (
), depois amarelo novamente ( ). - Probabilidade:
.
- Primeiro sorteia amarelo (
Passo 5
Finalmente, para a terceira repetição (
), o processo fica mais complexo, pois temos mais combinações possíveis dependendo dos resultados anteriores. A abordagem é semelhante à do segundo passo, mas com mais ramificações. Para simplificar, vamos utilizar o mesmo princípio:
- Em cada etapa, calcular as probabilidades condicionais com base no estado anterior da urna.
- Considerar todas as possíveis sequências de sorteios (azul ou amarelo).
- Multiplicar as probabilidades ao longo das etapas para encontrar as probabilidades conjuntas finais para
e .
Devido à complexidade adicional, geralmente é mais eficiente utilizar técnicas de tabela ou diagramas de árvore para acompanhar todas as possibilidades e suas respectivas probabilidades.
Resposta
Após seguir os passos acima, as funções de probabilidade conjunta de
e
para cada
são determinadas considerando todas as possíveis combinações de sorteios e suas respectivas probabilidades condicionais em cada etapa do experimento.