Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, n bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por Xi e Yi, i=1,2,3 o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após i repetições do experimento.
9a
Encontre as funções de probabilidade conjunta de Xi, Yi, para cada i=1,2,3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma urna que inicialmente contém n bolas azuis e m bolas amarelas. O experimento consiste em sortear uma bola, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Isso é feito 3 vezes. Queremos encontrar as funções de probabilidade conjunta de Xi (total de bolas azuis) e Yi (total de bolas amarelas) após cada uma das 3 repetições.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade condicional e processos de reforço, especialmente o Modelo de Urna de Polya. Vamos passo a passo descobrir como as bolas aumentam e como isso afeta as probabilidades em cada etapa.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira repetição ( i=1). Inicialmente, temos n bolas azuis e m bolas amarelas, totalizando n + m bolas na urna.
Quando sorteamos uma bola:
  • A probabilidade de tirar uma bola azul é nn + m.
  • A probabilidade de tirar uma bola amarela é mn + m.
Após devolver a bola sorteada junto com outra da mesma cor:
  • Se tiramos uma azul, passamos a ter n + 1 bolas azuis e m amarelas.
  • Se tiramos uma amarela, temos n bolas azuis e m + 1 amarelas.
Então, para i=1, as combinações possíveis são:
  • X1 = n + 1, Y1 = m com probabilidade nn + m.
  • X1 = n, Y1 = m + 1 com probabilidade mn + m.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda repetição ( i=2). Dependendo do resultado da primeira repetição, teremos dois cenários:
Caso 1: Após a primeira repetição, temos n + 1 bolas azuis e m amarelas.
  • Probabilidade de tirar uma bola azul agora é n + 1n + 1 + m.
  • Probabilidade de tirar uma bola amarela é mn + 1 + m.
  • Se tirarmos uma azul, teremos n + 2 bolas azuis e m amarelas.
  • Se tirarmos uma amarela, teremos n + 1 bolas azuis e m + 1 amarelas.
Caso 2: Após a primeira repetição, temos n bolas azuis e m + 1 amarelas.
  • Probabilidade de tirar uma bola azul agora é nn + m + 1.
  • Probabilidade de tirar uma bola amarela é m + 1n + m + 1.
  • Se tirarmos uma azul, teremos n + 1 bolas azuis e m + 1 amarelas.
  • Se tirarmos uma amarela, teremos n bolas azuis e m + 2 amarelas.
Para encontrar a função de probabilidade conjunta após i=2, precisamos considerar as probabilidades condicionais de cada cenário.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades para cada combinação possível após i=2:
  1. X2 = n + 2, Y2 = m:
    • Primeiro sorteia azul ( nn + m), depois sorteia azul novamente ( n + 1n + 1 + m).
    • Probabilidade: nn + m times n + 1n + 1 + m.
  2. X2 = n + 1, Y2 = m + 1:
    • Pode acontecer de duas formas:
      • Primeiro sorteia azul, depois amarelo.
      • Primeiro sorteia amarelo, depois azul.
    • Probabilidade:
      • Azul depois amarelo: nn + m times mn + 1 + m.
      • Amarelo depois azul: mn + m times nn + m + 1.
    • Total: nn + m times mn + 1 + m + mn + m times nn + m + 1.
  3. X2 = n, Y2 = m + 2:
    • Primeiro sorteia amarelo ( mn + m), depois amarelo novamente ( m + 1n + m + 1).
    • Probabilidade: mn + m times m + 1n + m + 1.

Passo 5

Finalmente, para a terceira repetição ( i=3), o processo fica mais complexo, pois temos mais combinações possíveis dependendo dos resultados anteriores. A abordagem é semelhante à do segundo passo, mas com mais ramificações. Para simplificar, vamos utilizar o mesmo princípio:
  • Em cada etapa, calcular as probabilidades condicionais com base no estado anterior da urna.
  • Considerar todas as possíveis sequências de sorteios (azul ou amarelo).
  • Multiplicar as probabilidades ao longo das etapas para encontrar as probabilidades conjuntas finais para X3 e Y3.
Devido à complexidade adicional, geralmente é mais eficiente utilizar técnicas de tabela ou diagramas de árvore para acompanhar todas as possibilidades e suas respectivas probabilidades.

Resposta

Após seguir os passos acima, as funções de probabilidade conjunta de Xi e Yi para cada i=1,2,3 são determinadas considerando todas as possíveis combinações de sorteios e suas respectivas probabilidades condicionais em cada etapa do experimento.

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Os ganhos por horas (em reais) de uma amostra de 25 fabricantes de equipamentos para rodovias são apresentados a seguir:
15,60 18,75 14,60 15,80 14,35 13,90 17,50 17,55 13,80 14,20
19,05 15,35 15,20 1945 15,95 16,50 16,30 15,25 15,05 19,10
15,20 16,22 17,75 18,40 15,25
c) Calcule as medidas de posição e dispersão para os dados;
Determine as seguintes probabilidades:
P(03) P(X>2,5)
Os dados a seguir referem-se ao número de livros adquiridos, no ano passado, pelos 40 alunos da Turma A:
4 2 1 0 3 1 2 0 2 2
1 0 2 1 1 0 4 3 1 1
2 3 5 8 0 1 6 5 0 3
2 1 6 4 3 4 3 2 3 0
d) Calcule média, mediana e moda, dos dados iniciais. Interprete.
Os dados a seguir referem-se ao número de livros adquiridos, no ano passado, pelos 40 alunos da Turma A:
4 2 1 0 3 1 2 0 2 2
1 0 2 1 1 0 4 3 1 1
2 3 5 8 0 1 6 5 0 3
2 1 6 4 3 4 3 2 3 0
c) Qual o percentual de alunos que adquiriram pelo menos 4 livros?