Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por e o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após repetições do experimento.
a) Encontre as funções de probabilidade conjunta de , para cada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um experimento com uma urna que começa com bolas azuis e bolas amarelas. A gente vai sortear uma bola, ver a cor, e colocar de volta na urna junto com outra bola da mesma cor. Isso fazemos 3 vezes. Queremos encontrar as funções de probabilidade conjunta de e para cada repetição .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre processos estocásticos e probabilidade condicional. Basicamente, a cada passo, a quantidade de bolas de cada cor pode mudar dependendo da cor da bola sorteada. Vamos passo a passo descobrir como isso acontece.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro passo do experimento, ou seja, quando . Inicialmente, temos bolas azuis e bolas amarelas, totalizando bolas na urna.
A probabilidade de sortear uma bola azul é e a de sortear uma bola amarela é .
Depois de sortear a primeira bola:
  • Se for azul, adicionamos outra azul. Então, a urna passa a ter bolas azuis e amarelas.
  • Se for amarela, adicionamos outra amarela. Então, a urna fica com bolas azuis e amarelas.

Passo 3

Agora, vamos formalizar isso usando funções de probabilidade conjunta.
Para , as possíveis combinações de são:
  • : se sortearmos uma azul.
  • : se sortearmos uma amarela.
Então, as funções de probabilidade conjunta são:

Passo 4

Vamos passar para . Agora, a urna pode estar em dois estados possíveis após a primeira repetição:
  1. Estado 1: bolas azuis e amarelas.
  2. Estado 2: bolas azuis e amarelas.
Vamos analisar cada estado separadamente.
Estado 1:
  • Probabilidade de sortear azul:
  • Probabilidade de sortear amarelo:
Se sortear azul:
  • Nova composição: azuis, amarelas.
Se sortear amarelo:
  • Nova composição: azuis, amarelas.
Estado 2:
  • Probabilidade de sortear azul:
  • Probabilidade de sortear amarelo:
Se sortear azul:
  • Nova composição: azuis, amarelas.
Se sortear amarelo:
  • Nova composição: azuis, amarelas.

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades para cada combinação de .
  1. Para :
  1. Para :
    Há duas maneiras de chegar nessa composição:
  • Primeiro sorteio azul e segundo sorteio amarelo.
  • Primeiro sorteio amarelo e segundo sorteio azul.
  1. Para :

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para . Agora, a urna pode estar em vários estados dependendo dos sorteios anteriores. Para simplificar, vamos considerar todas as possibilidades após duas repetições e calcular as probabilidades para cada.
As possíveis composições após duas repetições são:
Vamos calcular as probabilidades de transição para cada uma dessas composições após a terceira repetição.
  1. Partindo de :
    • Probabilidade de sortear azul:
      • Nova composição:
    • Probabilidade de sortear amarelo:
      • Nova composição:
  2. Partindo de :
    • Probabilidade de sortear azul:
      • Nova composição:
    • Probabilidade de sortear amarelo:
      • Nova composição:
  3. Partindo de :
    • Probabilidade de sortear azul:
      • Nova composição:
    • Probabilidade de sortear amarelo:
      • Nova composição:

Passo 7

Agora, vamos calcular as probabilidades para cada combinação de considerando as transições que fizemos.
  1. Para :
  1. Para :
    Há duas maneiras de chegar nessa composição:
  • Partindo de e sorteando amarelo.
  • Partindo de e sorteando azul.
  1. Para :
    Também há duas maneiras:
  • Partindo de e sorteando amarelo.
  • Partindo de e sorteando azul.
  1. Para :

Resposta

Então, resumindo, as funções de probabilidade conjunta de para cada são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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g) ;
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d) ;
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e) Determine ;