Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, n bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por Xi e Yi, i=1,2,3 o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após i repetições do experimento.
a) Encontre as funções de probabilidade conjunta de Xi, Yi, para cada i=1,2,3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um experimento com uma urna que começa com n bolas azuis e m bolas amarelas. A gente vai sortear uma bola, ver a cor, e colocar de volta na urna junto com outra bola da mesma cor. Isso fazemos 3 vezes. Queremos encontrar as funções de probabilidade conjunta de Xi e Yi para cada repetição i = 1, 2, 3.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre processos estocásticos e probabilidade condicional. Basicamente, a cada passo, a quantidade de bolas de cada cor pode mudar dependendo da cor da bola sorteada. Vamos passo a passo descobrir como isso acontece.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro passo do experimento, ou seja, quando i = 1. Inicialmente, temos n bolas azuis e m bolas amarelas, totalizando n + m bolas na urna.
A probabilidade de sortear uma bola azul é dfracnn + m e a de sortear uma bola amarela é dfracmn + m.
Depois de sortear a primeira bola:
  • Se for azul, adicionamos outra azul. Então, a urna passa a ter n + 1 bolas azuis e m amarelas.
  • Se for amarela, adicionamos outra amarela. Então, a urna fica com n bolas azuis e m + 1 amarelas.

Passo 3

Agora, vamos formalizar isso usando funções de probabilidade conjunta.
Para i = 1, as possíveis combinações de (X1, Y1) são:
  • (n + 1, m): se sortearmos uma azul.
  • (n, m + 1): se sortearmos uma amarela.
Então, as funções de probabilidade conjunta são:
P(X1 = n + 1, Y1 = m) = dfracnn + m
P(X1 = n, Y1 = m + 1) = dfracmn + m

Passo 4

Vamos passar para i = 2. Agora, a urna pode estar em dois estados possíveis após a primeira repetição:
  1. Estado 1: n + 1 bolas azuis e m amarelas.
  2. Estado 2: n bolas azuis e m + 1 amarelas.
Vamos analisar cada estado separadamente.
Estado 1:
  • Probabilidade de sortear azul: dfracn + 1n + m + 1
  • Probabilidade de sortear amarelo: dfracmn + m + 1
Se sortear azul:
  • Nova composição: n + 2 azuis, m amarelas.
Se sortear amarelo:
  • Nova composição: n + 1 azuis, m + 1 amarelas.
Estado 2:
  • Probabilidade de sortear azul: dfracnn + m + 1
  • Probabilidade de sortear amarelo: dfracm + 1n + m + 1
Se sortear azul:
  • Nova composição: n + 1 azuis, m + 1 amarelas.
Se sortear amarelo:
  • Nova composição: n azuis, m + 2 amarelas.

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades para cada combinação de (X2, Y2).
  1. Para (n + 2, m):
P(X2 = n + 2, Y2 = m) = P(Primeiro sorteio azul) times P(Segundo sorteio azul mid Primeiro sorteio azul)
= dfracnn + m times dfracn + 1n + m + 1
  1. Para (n + 1, m + 1):
    Há duas maneiras de chegar nessa composição:
  • Primeiro sorteio azul e segundo sorteio amarelo.
  • Primeiro sorteio amarelo e segundo sorteio azul.
P(X2 = n + 1, Y2 = m + 1) = dfracnn + m times dfracmn + m + 1 + dfracmn + m times dfracnn + m + 1
= 2 times dfracn m(n + m)(n + m + 1)
  1. Para (n, m + 2):
P(X2 = n, Y2 = m + 2) = P(Primeiro sorteio amarelo) times P(Segundo sorteio amarelo mid Primeiro sorteio amarelo)
= dfracmn + m times dfracm + 1n + m + 1

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para i = 3. Agora, a urna pode estar em vários estados dependendo dos sorteios anteriores. Para simplificar, vamos considerar todas as possibilidades após duas repetições e calcular as probabilidades para cada.
As possíveis composições após duas repetições são:
  • (n + 2, m)
  • (n + 1, m + 1)
  • (n, m + 2)
Vamos calcular as probabilidades de transição para cada uma dessas composições após a terceira repetição.
  1. Partindo de (n + 2, m):
    • Probabilidade de sortear azul: dfracn + 2n + m + 2
      • Nova composição: (n + 3, m)
    • Probabilidade de sortear amarelo: dfracmn + m + 2
      • Nova composição: (n + 2, m + 1)
  2. Partindo de (n + 1, m + 1):
    • Probabilidade de sortear azul: dfracn + 1n + m + 2
      • Nova composição: (n + 2, m + 1)
    • Probabilidade de sortear amarelo: dfracm + 1n + m + 2
      • Nova composição: (n + 1, m + 2)
  3. Partindo de (n, m + 2):
    • Probabilidade de sortear azul: dfracnn + m + 2
      • Nova composição: (n + 1, m + 2)
    • Probabilidade de sortear amarelo: dfracm + 2n + m + 2
      • Nova composição: (n, m + 3)

Passo 7

Agora, vamos calcular as probabilidades para cada combinação de (X3, Y3) considerando as transições que fizemos.
  1. Para (n + 3, m):
P(X3 = n + 3, Y3 = m) = P(X2 = n + 2, Y2 = m) times dfracn + 2n + m + 2
= ( dfracnn + m times dfracn + 1n + m + 1 ) times dfracn + 2n + m + 2
  1. Para (n + 2, m + 1):
    Há duas maneiras de chegar nessa composição:
  • Partindo de (n + 2, m) e sorteando amarelo.
  • Partindo de (n + 1, m + 1) e sorteando azul.
P(X3 = n + 2, Y3 = m + 1) = P(X2 = n + 2, Y2 = m) times dfracmn + m + 2 + P(X2 = n + 1, Y2 = m + 1) times dfracn + 1n + m + 2
= ( dfracnn + m times dfracn + 1n + m + 1 ) times dfracmn + m + 2 + ( 2 times dfracn m(n + m)(n + m + 1) ) times dfracn + 1n + m + 2
  1. Para (n + 1, m + 2):
    Também há duas maneiras:
  • Partindo de (n + 1, m + 1) e sorteando amarelo.
  • Partindo de (n, m + 2) e sorteando azul.
P(X3 = n + 1, Y3 = m + 2) = P(X2 = n + 1, Y2 = m + 1) times dfracm + 1n + m + 2 + P(X2 = n, Y2 = m + 2) times dfracnn + m + 2
= ( 2 times dfracn m(n + m)(n + m + 1) ) times dfracm + 1n + m + 2 + ( dfracmn + m times dfracm + 1n + m + 1 ) times dfracnn + m + 2
  1. Para (n, m + 3):
P(X3 = n, Y3 = m + 3) = P(X2 = n, Y2 = m + 2) times dfracm + 2n + m + 2
= ( dfracmn + m times dfracm + 1n + m + 1 ) times dfracm + 2n + m + 2

Resposta

Então, resumindo, as funções de probabilidade conjunta de (Xi, Yi) para cada i = 1, 2, 3 são:
  • Para i = 1:
    P(X1 = n + 1, Y1 = m) = dfracnn + m
    P(X1 = n, Y1 = m + 1) = dfracmn + m
  • Para i = 2:
    P(X2 = n + 2, Y2 = m) = dfracn (n + 1)(n + m)(n + m + 1)
    P(X2 = n + 1, Y2 = m + 1) = dfrac2 n m(n + m)(n + m + 1)
    P(X2 = n, Y2 = m + 2) = dfracm (m + 1)(n + m)(n + m + 1)
  • Para i = 3:
    P(X3 = n + 3, Y3 = m) = dfracn (n + 1) (n + 2)(n + m)(n + m + 1)(n + m + 2)
    P(X3 = n + 2, Y3 = m + 1) = dfracn (n + 1) m + 2 n m (n + 1)(n + m)(n + m + 1)(n + m + 2)
    P(X3 = n + 1, Y3 = m + 2) = dfrac2 n m (m + 1) + m (m + 1) n(n + m)(n + m + 1)(n + m + 2)
    P(X3 = n, Y3 = m + 3) = dfracm (m + 1) (m + 2)(n + m)(n + m + 1)(n + m + 2)

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