Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente,
bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por
e
o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após
repetições do experimento.
a) Encontre as funções de probabilidade conjunta de
, para cada
.
Denote por
a) Encontre as funções de probabilidade conjunta de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um experimento com uma urna que começa com
bolas azuis e
bolas amarelas. A gente vai sortear uma bola, ver a cor, e colocar de volta na urna junto com outra bola da mesma cor. Isso fazemos 3 vezes. Queremos encontrar as funções de probabilidade conjunta de
e
para cada repetição
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre processos estocásticos e probabilidade condicional. Basicamente, a cada passo, a quantidade de bolas de cada cor pode mudar dependendo da cor da bola sorteada. Vamos passo a passo descobrir como isso acontece.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro passo do experimento, ou seja, quando
. Inicialmente, temos
bolas azuis e
bolas amarelas, totalizando
bolas na urna.
A probabilidade de sortear uma bola azul é
e a de sortear uma bola amarela é
.
Depois de sortear a primeira bola:
- Se for azul, adicionamos outra azul. Então, a urna passa a ter
bolas azuis e amarelas. - Se for amarela, adicionamos outra amarela. Então, a urna fica com
bolas azuis e amarelas.
Passo 3
Agora, vamos formalizar isso usando funções de probabilidade conjunta.
Para
, as possíveis combinações de
são:
-
: se sortearmos uma azul. -
: se sortearmos uma amarela.
Então, as funções de probabilidade conjunta são:
Passo 4
Vamos passar para
. Agora, a urna pode estar em dois estados possíveis após a primeira repetição:
- Estado 1:
bolas azuis e amarelas. - Estado 2:
bolas azuis e amarelas.
Vamos analisar cada estado separadamente.
Estado 1:
- Probabilidade de sortear azul:
- Probabilidade de sortear amarelo:
Se sortear azul:
- Nova composição:
azuis, amarelas.
Se sortear amarelo:
- Nova composição:
azuis, amarelas.
Estado 2:
- Probabilidade de sortear azul:
- Probabilidade de sortear amarelo:
Se sortear azul:
- Nova composição:
azuis, amarelas.
Se sortear amarelo:
- Nova composição:
azuis, amarelas.
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades para cada combinação de
.
- Para
:
- Para
:
Há duas maneiras de chegar nessa composição:
- Primeiro sorteio azul e segundo sorteio amarelo.
- Primeiro sorteio amarelo e segundo sorteio azul.
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Agora, a urna pode estar em vários estados dependendo dos sorteios anteriores. Para simplificar, vamos considerar todas as possibilidades após duas repetições e calcular as probabilidades para cada.
As possíveis composições após duas repetições são:
Vamos calcular as probabilidades de transição para cada uma dessas composições após a terceira repetição.
-
Partindo de
: - Probabilidade de sortear azul:
- Nova composição:
- Nova composição:
- Probabilidade de sortear amarelo:
- Nova composição:
- Nova composição:
- Probabilidade de sortear azul:
-
Partindo de
: - Probabilidade de sortear azul:
- Nova composição:
- Nova composição:
- Probabilidade de sortear amarelo:
- Nova composição:
- Nova composição:
- Probabilidade de sortear azul:
-
Partindo de
: - Probabilidade de sortear azul:
- Nova composição:
- Nova composição:
- Probabilidade de sortear amarelo:
- Nova composição:
- Nova composição:
- Probabilidade de sortear azul:
Passo 7
Agora, vamos calcular as probabilidades para cada combinação de
considerando as transições que fizemos.
- Para
:
- Para
:
Há duas maneiras de chegar nessa composição:
- Partindo de
e sorteando amarelo. - Partindo de
e sorteando azul.
- Para
:
Também há duas maneiras:
- Partindo de
e sorteando amarelo. - Partindo de
e sorteando azul.
- Para
:
Resposta
Então, resumindo, as funções de probabilidade conjunta de
para cada
são:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Exercícios relacionados
Seja
uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
g)
;
Seja
uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
e)
Seja
uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
d)
;
A função de densidade conjunta de
e
é dada por
e) Determine
;