Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , dada por:
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade condicional . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e integrar a função de densidade conjunta nas regiões apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional é dada por:
No nosso caso, é o evento e é o evento . Então, precisamos calcular e .
Passo 3
Vamos começar calculando . Isso significa integrar a função de densidade conjunta sobre de 0 a e de 0 a 2:
Vamos primeiro integrar em relação a :
Então, a probabilidade fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular . Isso significa integrar sobre de 0 a e de a 2:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a probabilidade fica:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral:
Substituindo :
Portanto,
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional: