A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=67(x^2+x y2), 0
e) Determine P(Y>12 rvert, X<12);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, f(x, y) = 67(x^2 + x y2), 0 < x < 1, 0 < y < 2 e , dada por:
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade condicional . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e integrar a função de densidade conjunta nas regiões apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional P(A mid B) = P(A cap B)P(B) é dada por:
No nosso caso, é o evento e é o evento . Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos começar calculando P(X < 12) = integral0^12 integral0^2 67(x^2 + x y2) dy , dx . Isso significa integrar a função de densidade conjunta integral0^2 (x^2 + x y2) dy = x^2 y + x y^24 g|0^2 = x^2 cdot 2 + x cdot 44 = 2x^2 + x sobre P(X < 12) = 67 integral0^12 (2x^2 + x) dx de 0 a e de 0 a 2:
Vamos primeiro integrar em relação a :
Então, a probabilidade fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^12 (2x^2 + x) dx = 2x^33 + x^22 g|0^12 = 2 (12)^33 + (12)^22 = 2 cdot 183 + 142 = 112 + 18 = 224 + 324 = 524
Portanto,
P(X < 12) = 67 cdot 524 = 30168 = 528

Passo 5

Agora, vamos calcular P(Y > 12 cap X < 12) = integral0^12 integral12^2 67(x^2 + x y2) dy , dx . Isso significa integrar integral12^2 (x^2 + x y2) dy = x^2 y + x y^24 g|12^2 = x^2(2 - 12) + x(4 - 14)4 = 3x^22 + x cdot 1544 = 3x^22 + 15x16 sobre P(Y > 12 cap X < 12) = 67 integral0^12 (3x^22 + 15x16) dx de 0 a e de a 2:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a probabilidade fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
integral0^12 (3x^22 + 15x16) dx = 32 cdot x^33 + 1516 cdot x^22 g|0^12 = x^32 + 15x^232 g|0^12
Substituindo (12)^32 + 15 (12)^232 = 182 + 15 cdot 1432 = 116 + 15128 = 8128 + 15128 = 23128 :
P(Y > 12 cap X < 12) = 67 cdot 23128 = 138896 = 69448
Portanto,

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(Y > 12 mid X < 12) = P(Y > 12 cap X < 12)P(X < 12) = 69448528 = 69448 cdot 285 = 69 cdot 28448 cdot 5 = 19322240 = 483560

Resposta

A probabilidade condicional é igual a .

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