Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, f(x, y) = 67(x^2 + x y2), 0 < x < 1, 0 < y < 2 e , dada por:
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade condicional . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e integrar a função de densidade conjunta nas regiões apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional P(A mid B) = P(A cap B)P(B) é dada por:
No nosso caso, é o evento e é o evento . Então, precisamos calcular e .
Passo 3
Vamos começar calculando P(X < 12) = integral0^12 integral0^2 67(x^2 + x y2) dy , dx . Isso significa integrar a função de densidade conjunta integral0^2 (x^2 + x y2) dy = x^2 y + x y^24 g|0^2 = x^2 cdot 2 + x cdot 44 = 2x^2 + x sobre P(X < 12) = 67 integral0^12 (2x^2 + x) dx de 0 a e de 0 a 2:
Agora, vamos calcular P(Y > 12 cap X < 12) = integral0^12 integral12^2 67(x^2 + x y2) dy , dx . Isso significa integrar integral12^2 (x^2 + x y2) dy = x^2 y + x y^24 g|12^2 = x^2(2 - 12) + x(4 - 14)4 = 3x^22 + x cdot 1544 = 3x^22 + 15x16 sobre P(Y > 12 cap X < 12) = 67 integral0^12 (3x^22 + 15x16) dx de 0 a e de a 2: