A função de densidade conjunta de e é dada por
e) Determine ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , dada por:
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade condicional . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e integrar a função de densidade conjunta nas regiões apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional é dada por:
No nosso caso, é o evento e é o evento . Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos começar calculando . Isso significa integrar a função de densidade conjunta sobre de 0 a e de 0 a 2:
Vamos primeiro integrar em relação a :
Então, a probabilidade fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular . Isso significa integrar sobre de 0 a e de a 2:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a probabilidade fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
Substituindo :
Portanto,

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:

Resposta

A probabilidade condicional é igual a .

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
d) ;
Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por e o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após repetições do experimento.
a) Encontre as funções de probabilidade conjunta de , para cada .
Dada a função de distribuição acumulada
de uma v.a. X, determine as seguintes probabilidades:
Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à direita de cada uma das medidas a seguir.
(b)