Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
F(x)= 0 & se x<0 1-e^-x & se x >= 0
d) P(1 <= X<2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente calcular a probabilidade de uma variável aleatória estar entre 1 e 2, ou seja, . Estamos trabalhando com distribuições de probabilidade acumulada, especificamente com a função de distribuição acumulada (CDF) para . Para resolver isso, vamos usar as propriedades da CDF para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um valor específico . Ou seja, . No nosso caso, queremos , que pode ser reescrito como .

Passo 3

Vamos calcular P(X < 2) = F(2) = 1 - e^-2 usando a função de distribuição acumulada:
P(X < 1) = F(1) = 1 - e^-1
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, subtraímos P(1 <= X < 2) = F(2) - F(1) = (1 - e^-2) - (1 - e^-1) de P(1 <= X < 2) = e^-1 - e^-2 para encontrar :
Simplificando a expressão:

Resposta

A probabilidade de estar entre 1 e 2 é , ou aproximadamente 0,2325.

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