Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
F(x)= 0 & se x<0 1-e^-x & se x >= 0
g) P(X>5 mid X>2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória F(x)= 0 & se x<0 1-e^-x & se x >= 0 com uma função de distribuição acumulada definida por:
O exercício pede para calcular a probabilidade condicionada . Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e funções de distribuição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa P(A mid B) = P(A cap B)P(B) . Isso é a probabilidade de ser maior que 5, dado que já sabemos que é maior que 2. A fórmula para probabilidade condicional é:
No nosso caso, é e é .

Passo 3

Vamos calcular P(A cap B) = P(X > 5) . Como é e é , a interseção é simplesmente , porque se , automaticamente .
Então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular P(X > a) = 1 - F(a) e . Sabemos que:
Onde é a função de distribuição acumulada.

Passo 5

Vamos calcular F(x) = 1 - e^-x para x >= 0 e F(5) = 1 - e^-5 usando a função dada:
F(2) = 1 - e^-2
Então:

Passo 6

Agora, calculamos P(X > 5) = 1 - F(5) = e^-5 e P(X > 2) = 1 - F(2) = e^-2 :

Passo 7

Voltando à fórmula da probabilidade condicionada:
P(X>5 mid X>2) = P(X > 5)P(X > 2) = e^-5e^-2 = e^-(5-2) = e^-3

Resposta

A probabilidade é , aproximadamente 0,0498.

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