Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente,
bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por
e
o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após
repetições do experimento.
b) Calcule
e
para cada
.
Denote por
b) Calcule
Passo 1
Vamos resumir o que está sendo pedido aqui. Temos uma urna com inicialmente
bolas azuis e
bolas amarelas. A cada experimento, tiramos uma bola, observamos sua cor e devolvemos para a urna junto com outra bola da mesma cor. Isso é feito 3 vezes. Queremos calcular a probabilidade de, em cada etapa
, a próxima etapa
ser
ou
, dado que na etapa anterior era
. Vamos precisar entender o conceito de probabilidade condicional e como a composição da urna muda a cada experimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa a probabilidade de, na próxima etapa, o número de bolas azuis aumentar em 1 (ficando
) e o número de bolas amarelas permanecer
, dado que atualmente temos
bolas azuis e
bolas amarelas.
Passo 3
Para que o número de bolas azuis aumente em 1, precisamos ter tirado uma bola azul no experimento atual. A probabilidade de tirar uma bola azul é a razão entre o número de bolas azuis e o total de bolas na urna. Ou seja,
.
Passo 4
De forma semelhante, a probabilidade de o número de bolas amarelas aumentar em 1, ou seja,
, ocorre quando tiramos uma bola amarela. A probabilidade disso é
.
Passo 5
Após cada experimento, adicionamos uma bola da mesma cor que foi tirada. Portanto, se tirarmos uma bola azul, passaremos a ter
bolas azuis e
bolas amarelas na próxima etapa. Se tirarmos uma bola amarela, teremos
bolas azuis e
bolas amarelas.
Resposta
A probabilidade de
dado que
é
.
A probabilidade de dado que
é
.
A probabilidade de
Exercícios relacionados
Seja
uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
h)
para
.
Seja
uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
f)
para
;
A função de densidade conjunta de
e
é dada por
b) Encontre as densidades marginais de Xe Y ;
Dada a função de distribuição acumulada
c) Determine também as seguintes probabilidades: