Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por e o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após repetições do experimento.
b) Calcule
e
para cada .

Passo 1

Vamos resumir o que está sendo pedido aqui. Temos uma urna com inicialmente bolas azuis e bolas amarelas. A cada experimento, tiramos uma bola, observamos sua cor e devolvemos para a urna junto com outra bola da mesma cor. Isso é feito 3 vezes. Queremos calcular a probabilidade de, em cada etapa , a próxima etapa ser ou , dado que na etapa anterior era . Vamos precisar entender o conceito de probabilidade condicional e como a composição da urna muda a cada experimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa a probabilidade de, na próxima etapa, o número de bolas azuis aumentar em 1 (ficando ) e o número de bolas amarelas permanecer , dado que atualmente temos bolas azuis e bolas amarelas.

Passo 3

Para que o número de bolas azuis aumente em 1, precisamos ter tirado uma bola azul no experimento atual. A probabilidade de tirar uma bola azul é a razão entre o número de bolas azuis e o total de bolas na urna. Ou seja, .

Passo 4

De forma semelhante, a probabilidade de o número de bolas amarelas aumentar em 1, ou seja, , ocorre quando tiramos uma bola amarela. A probabilidade disso é .

Passo 5

Após cada experimento, adicionamos uma bola da mesma cor que foi tirada. Portanto, se tirarmos uma bola azul, passaremos a ter bolas azuis e bolas amarelas na próxima etapa. Se tirarmos uma bola amarela, teremos bolas azuis e bolas amarelas.

Resposta

A probabilidade de dado que é .
A probabilidade de dado que é .

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
h) para .
Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
f) para ;
A função de densidade conjunta de e é dada por
b) Encontre as densidades marginais de Xe Y ;
Dada a função de distribuição acumulada
c) Determine também as seguintes probabilidades: