Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, n bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por Xi e Yi, i=1,2,3 o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após i repetições do experimento.
b) Calcule
P((Xi+1, Yi+1)=(k+1, l) mid(Xi+1, Yi+1)=(k, l))
e
P((Xi+1, Yi+1)=(k, l+1) mid(Xi+1, Yi+1)=(k, l))
para cada i=1,2.

Passo 1

Vamos resumir o que está sendo pedido aqui. Temos uma urna com inicialmente n bolas azuis e m bolas amarelas. A cada experimento, tiramos uma bola, observamos sua cor e devolvemos para a urna junto com outra bola da mesma cor. Isso é feito 3 vezes. Queremos calcular a probabilidade de, em cada etapa i=1,2, a próxima etapa (Xi+1, Yi+1) ser (k+1, l) ou (k, l+1), dado que na etapa anterior era (k, l). Vamos precisar entender o conceito de probabilidade condicional e como a composição da urna muda a cada experimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa P((Xi+1, Yi+1)=(k+1, l) mid(Xi, Yi)=(k, l)). Isso representa a probabilidade de, na próxima etapa, o número de bolas azuis aumentar em 1 (ficando k+1) e o número de bolas amarelas permanecer l, dado que atualmente temos k bolas azuis e l bolas amarelas.

Passo 3

Para que o número de bolas azuis aumente em 1, precisamos ter tirado uma bola azul no experimento atual. A probabilidade de tirar uma bola azul é a razão entre o número de bolas azuis e o total de bolas na urna. Ou seja, kk + l.

Passo 4

De forma semelhante, a probabilidade de o número de bolas amarelas aumentar em 1, ou seja, P((Xi+1, Yi+1)=(k, l+1) mid(Xi, Yi)=(k, l)), ocorre quando tiramos uma bola amarela. A probabilidade disso é lk + l.

Passo 5

Após cada experimento, adicionamos uma bola da mesma cor que foi tirada. Portanto, se tirarmos uma bola azul, passaremos a ter k+1 bolas azuis e l bolas amarelas na próxima etapa. Se tirarmos uma bola amarela, teremos k bolas azuis e l+1 bolas amarelas.

Resposta

A probabilidade de (Xi+1, Yi+1) = (k+1, l) dado que (Xi, Yi) = (k, l) é kk + l.
A probabilidade de (Xi+1, Yi+1) = (k, l+1) dado que (Xi, Yi) = (k, l) é lk + l.

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