Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
F(x)= 0 & se x<0 1-e^-x & se x >= 0
h) P(X>t+s mid X>t) para t, s>0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma variável aleatória F(x)= 0 & se x < 0 1 - e^-x & se x >= 0 com uma função de distribuição acumulada definida por:
A pergunta é para encontrar a probabilidade condicional , onde e são maiores que zero. Isso envolve conceitos de probabilidade condicional e distribuições exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa P(A mid B) = P(A cap B)P(B) . Essa é a probabilidade de ser maior que dado que já sabemos que é maior que .
Matematicamente, a probabilidade condicional é dada por:
No nosso caso, é e é .

Passo 3

Vamos calcular P(X > t + s cap X > t) = P(X > t + s) . A interseção é simplesmente , porque se é maior que , então já é maior que .
Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar P(X > t + s) = 1 - F(t + s) = e^-(t + s) e P(X > t) = 1 - F(t) = e^-t .
A função de distribuição acumulada nos dá . Portanto, .
Então,
e

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
P(X > t + s mid X > t) = P(X > t + s)P(X > t) = e^-(t + s)e^-t = e^-s
Isso mostra que a probabilidade condicional depende apenas do intervalo adicional , e não de .

Resposta

Portanto, .

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