Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
h) para .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma variável aleatória com uma função de distribuição acumulada definida por:
A pergunta é para encontrar a probabilidade condicional , onde e são maiores que zero. Isso envolve conceitos de probabilidade condicional e distribuições exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa . Essa é a probabilidade de ser maior que dado que já sabemos que é maior que .
Matematicamente, a probabilidade condicional é dada por:
No nosso caso, é e é .

Passo 3

Vamos calcular . A interseção é simplesmente , porque se é maior que , então já é maior que .
Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e .
A função de distribuição acumulada nos dá . Portanto, .
Então,
e

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
Isso mostra que a probabilidade condicional depende apenas do intervalo adicional , e não de .

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
f) para ;
Seja X uma variável aleatória discreta com
e
b) Determine as seguintes probabilidades:
Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por e o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após repetições do experimento.
b) Calcule
e
para cada .
A função de densidade conjunta de e é dada por
b) Encontre as densidades marginais de Xe Y ;