A função de densidade conjunta de
e
é dada por
b) Encontre as densidades marginais de Xe Y ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as densidades marginais de
e
a partir da função de densidade conjunta:
Basicamente, as densidades marginais mostram como cada variável se comporta individualmente, ignorando a outra. Para isso, vamos precisar integrar a função conjunta em relação à variável que queremos eliminar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de
, que a gente denota por
. Para isso, vamos integrar
em relação a
no intervalo de 0 a 2:
Passo 3
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, distribuímos a constante:
Agora, integremos cada termo separadamente.
Passo 4
Integrando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Passo 5
Agora, somamos os resultados das integrais:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a densidade marginal de
, que a gente denota por
. Para isso, vamos integrar
em relação a
no intervalo de 0 a 1:
Passo 7
Vamos calcular essa integral também. Distribuímos a constante:
Integramos cada termo separadamente.
Passo 8
Integrando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Passo 9
Somando os resultados das integrais:
Resposta
As densidades marginais são:
e