A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=67(x^2+x y2), 0
b) Encontre as densidades marginais de Xe Y ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as densidades marginais de f(x, y) = 67(x^2 + x y2), 0 < x < 1, 0 < y < 2 e a partir da função de densidade conjunta:
Basicamente, as densidades marginais mostram como cada variável se comporta individualmente, ignorando a outra. Para isso, vamos precisar integrar a função conjunta em relação à variável que queremos eliminar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de fX(x) = integral0^2 f(x, y) , dy = integral0^2 67(x^2 + x y2) dy , que a gente denota por . Para isso, vamos integrar em relação a no intervalo de 0 a 2:

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, distribuímos a constante:
fX(x) = 67 integral0^2 (x^2 + x y2) dy = 67 [ integral0^2 x^2 dy + integral0^2 x y2 dy ]
Agora, integremos cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
integral0^2 x^2 dy = x^2 integral0^2 dy = x^2 cdot (2 - 0) = 2x^2
E o segundo termo:
integral0^2 x y2 dy = x2 integral0^2 y , dy = x2 cdot [ y^22 ]0^2 = x2 cdot ( 42 - 0 ) = x2 cdot 2 = x

Passo 5

Agora, somamos os resultados das integrais:
fX(x) = 67 ( 2x^2 + x ) = 67 (2x^2 + x)
Simplificando:
fX(x) = 12x^2 + 6x7 = 6(2x^2 + x)7

Passo 6

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de fY(y) = integral0^1 f(x, y) , dx = integral0^1 67(x^2 + x y2) dx , que a gente denota por . Para isso, vamos integrar em relação a no intervalo de 0 a 1:

Passo 7

Vamos calcular essa integral também. Distribuímos a constante:
fY(y) = 67 integral0^1 (x^2 + x y2) dx = 67 [ integral0^1 x^2 dx + integral0^1 x y2 dx ]
Integramos cada termo separadamente.

Passo 8

Integrando o primeiro termo:
integral0^1 x^2 dx = [ x^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
E o segundo termo:
integral0^1 x y2 dx = y2 integral0^1 x , dx = y2 cdot [ x^22 ]0^1 = y2 cdot ( 12 - 0 ) = y4

Passo 9

Somando os resultados das integrais:
fY(y) = 67 ( 13 + y4 ) = 67 ( 4 + 3y12 ) = 6(4 + 3y)84 = 24 + 18y84 = 12 + 9y42 = 4 + 3y14

Resposta

As densidades marginais são:
fX(x) = 6(2x^2 + x)7, 0 < x < 1
e
fY(y) = 4 + 3y14, 0 < y < 2

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