A função de densidade conjunta de e é dada por
b) Encontre as densidades marginais de Xe Y ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as densidades marginais de e a partir da função de densidade conjunta:
Basicamente, as densidades marginais mostram como cada variável se comporta individualmente, ignorando a outra. Para isso, vamos precisar integrar a função conjunta em relação à variável que queremos eliminar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de , que a gente denota por . Para isso, vamos integrar em relação a no intervalo de 0 a 2:

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, distribuímos a constante:
Agora, integremos cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
E o segundo termo:

Passo 5

Agora, somamos os resultados das integrais:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de , que a gente denota por . Para isso, vamos integrar em relação a no intervalo de 0 a 1:

Passo 7

Vamos calcular essa integral também. Distribuímos a constante:
Integramos cada termo separadamente.

Passo 8

Integrando o primeiro termo:
E o segundo termo:

Passo 9

Somando os resultados das integrais:

Resposta

As densidades marginais são:
e

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Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por e o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após repetições do experimento.
b) Calcule
e
para cada .
Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
h) para .
Dada a função de distribuição acumulada
c) Determine também as seguintes probabilidades:
Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
c) ;