Num certo hospital, a temperatura na sala de espera das urgências tem distribuição uniforme entre 20 e 24 graus.
a) Construa a função de distribuição adequada.
b) Calcule a temperatura média da sala e a variância.
c) Qual a probabilidade de a temperatura da sala estar entre 21 e 23 graus?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura na sala de espera das urgências de um hospital, que varia de forma uniforme entre 20 e 24 graus. Isso significa que qualquer temperatura dentro desse intervalo tem a mesma probabilidade de ocorrer. Vamos usar o conteúdo de Distribuições de Probabilidade, especificamente a Distribuição Uniforme. Para resolver as partes a), b) e c), vamos precisar saber como construir a função de distribuição, calcular a média e a variância, e determinar probabilidades dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a função de distribuição acumulada (FDC) para a distribuição uniforme entre 20 e 24 graus. A função densidade de probabilidade (f) para uma distribuição uniforme é dada por:
f(x) = 1b - a
onde f(x) = 124 - 20 = 14 e F(x) = 0 & se x < 20 x - 204 & se 20 <= x <= 24 1 & se x > 24 . Então:
A função de distribuição acumulada (FDC) é a integral da função densidade de probabilidade e, para a distribuição uniforme, é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a temperatura média (esperança matemática) da sala. Para uma distribuição uniforme, a média é simplesmente a média dos limites:
mu = a + b2 = 20 + 242 = 22 graus

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância da temperatura. A variância para uma distribuição uniforme é dada por:
sigma^2 = (b - a)^212 = (24 - 20)^212 = 1612 = 43 graus^2

Passo 5

Por fim, vamos determinar a probabilidade de a temperatura da sala estar entre 21 e 23 graus. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada:
P(21 <= X <= 23) = F(23) - F(21)
Calculando F(23) = 23 - 204 = 34 e F(21) = 21 - 204 = 14 :
P(21 <= X <= 23) = 34 - 14 = 24 = 12
Então:

Resposta

a) A função de distribuição acumulada é:
F(x) = 0 & se x < 20 x - 204 & se 20 <= x <= 24 1 & se x > 24
b) A temperatura média é 22 graus e a variância é graus².
c) A probabilidade da temperatura estar entre 21 e 23 graus é ou 50%.

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