O verdadeiro peso de sacos de quilo de arroz é aleatório e apresenta uma densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0,8 e
.
a) Indique a função de densidade de probabilidade em questão.
b) Qual a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de um quilo?
c) Qual o peso médio dos referidos sacos?
a) Indique a função de densidade de probabilidade em questão.
b) Qual a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de um quilo?
c) Qual o peso médio dos referidos sacos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos sacos de arroz cujo peso verdadeiro varia de forma aleatória entre 0,8 kg e 1,05 kg. Isso significa que qualquer peso dentro desse intervalo tem a mesma chance de ocorrer. O conteúdo que vamos usar aqui é a distribuição uniforme na probabilidade. Para resolver as partes a), b) e c), vamos precisar saber como é a função de densidade de probabilidade dessa distribuição, como calcular probabilidades e como encontrar o peso médio dos sacos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função de densidade de probabilidade para uma distribuição uniforme. Em uma distribuição uniforme no intervalo
, a função de densidade
é constante e calculada da seguinte forma:
No nosso caso,
e
. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Então, a função de densidade de probabilidade é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de 1 kg. Para isso, usamos a função de densidade que acabamos de definir e integramos de
até
:
Resolvendo a integral:
Isso significa que a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de 1 kg é de 80%.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o peso médio dos sacos de arroz. Para uma distribuição uniforme, a média
é calculada pela fórmula:
Substituindo os valores:
Portanto, o peso médio dos sacos de arroz é de 0,925 kg.
Resposta
a) A função de densidade de probabilidade é:
b) A probabilidade de um saco de arroz pesar menos de um quilo é de 80%.
c) O peso médio dos sacos de arroz é de 0,925 kg.