O verdadeiro peso de sacos de quilo de arroz é aleatório e apresenta uma densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0,8 e 1,05 Kg.
a) Indique a função de densidade de probabilidade em questão.
b) Qual a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de um quilo?
c) Qual o peso médio dos referidos sacos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos sacos de arroz cujo peso verdadeiro varia de forma aleatória entre 0,8 kg e 1,05 kg. Isso significa que qualquer peso dentro desse intervalo tem a mesma chance de ocorrer. O conteúdo que vamos usar aqui é a distribuição uniforme na probabilidade. Para resolver as partes a), b) e c), vamos precisar saber como é a função de densidade de probabilidade dessa distribuição, como calcular probabilidades e como encontrar o peso médio dos sacos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função de densidade de probabilidade para uma distribuição uniforme. Em uma distribuição uniforme no intervalo f(x) = 1b - a , a função de densidade f(x) = 11,05 - 0,8 = 10,25 = 4 é constante e calculada da seguinte forma:
f(x) = 4 para 0,8 <= x <= 1,05
No nosso caso, e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Então, a função de densidade de probabilidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de 1 kg. Para isso, usamos a função de densidade que acabamos de definir e integramos de P(X < 1) = integral0,8^1 f(x) , dx = integral0,8^1 4 , dx até P(X < 1) = 4 times (1 - 0,8) = 4 times 0,2 = 0,8 :
Resolvendo a integral:
Isso significa que a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de 1 kg é de 80%.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o peso médio dos sacos de arroz. Para uma distribuição uniforme, a média mu = a + b2 é calculada pela fórmula:
mu = 0,8 + 1,052 = 1,852 = 0,925
Substituindo os valores:
Portanto, o peso médio dos sacos de arroz é de 0,925 kg.

Resposta

a) A função de densidade de probabilidade é:
f(x) = 4 para 0,8 <= x <= 1,05
b) A probabilidade de um saco de arroz pesar menos de um quilo é de 80%.
c) O peso médio dos sacos de arroz é de 0,925 kg.

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