Numa empresa de aluguer de aviões informam-nos que a procura diária de aviões de passageiros, X, e a procura diária de aviões de transporte rápido de correio, Y, constitui um par aleatório (X, Y) cuja função de probabilidade conjunta é dada por:
Y
fX Y(x, y) 0 1 2 Total
X 0 0 0,25
1 0,05 0,35
2 0,1 0,1 p+0,2
3 0 0,1 p
Total 0,2 0,5
(a) Complete a tabela, determinando o valor de p.
(b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura diária de aviões de transporte? Justifique.
© Determine E(Y) e Var(Y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela de probabilidade conjunta para as procuras diárias de dois tipos de aviões: passageiros ( X) e transporte rápido de correio ( Y). Nosso objetivo no item (a) é completar essa tabela encontrando o valor de p. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente a propriedade de que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis deve ser igual a 1.

Passo 2

Vamos começar analisando a tabela fornecida:
X Y 0 1 2 Total
0 0 0,25
1 0,05 0,35
2 0,1 0,1 p+0,2
3 0 0,1 p
Total 0,2 0,5
Sabemos que a soma total das probabilidades deve ser igual a 1. Vamos somar as totais das linhas e das colunas para encontrar relações que nos ajudem a determinar o valor de p.

Passo 3

Primeiro, vamos somar as probabilidades da coluna de Y=0:
0 + 0 + 0,1 + 0 = 0,1
Mas o total dessa coluna é dado como 0,2. Então:
0,1 + probabilidade fa
Assim, a probabilidade faltante nessa coluna (para X=1, Y=0) é:
0,2 - 0,1 = 0,1
Então, atualizamos a tabela:
X Y 0 1 2 Total
0 0 0,25
1 0,1 0,05 0,35
2 0,1 0,1 p+0,2
3 0 0,1 p
Total 0,2 0,5

Passo 4

Agora, vamos somar as probabilidades da coluna de Y=1:
  • Já temos 0,5 como total dessa coluna.
  • As entradas conhecidas são 0 (para X=0), falta uma para X=2, e 0,1 para X=3.
Vamos calcular a probabilidade faltante para X=2, Y=1:
0 + probabilidade fa
Então:
probabilidade fa
Atualizando a tabela:
X Y 0 1 2 Total
0 0 0,25
1 0,1 0,05 0,35
2 0,1 0,4 0,1 p+0,2
3 0 0,1 p
Total 0,2 0,5

Passo 5

Agora, vamos considerar a linha de X=0. O total dessa linha é 0,25, e sabemos que fXY(0,0) = 0 (probabilidade de X=0, Y=0 é 0). Portanto, as probabilidades para Y=1 e Y=2 quando X=0 devem somar 0,25.
Ou seja:
0 + fXY(0,1) + fXY(0,2) = 0,25
Isso implica que:
fXY(0,1) + fXY(0,2) = 0,25
Mas olhando para a tabela original, vemos que fXY(0,1) e fXY(0,2) não foram fornecidas. No entanto, como não temos outras informações, podemos supor que essas probabilidades são zero, o que satisfaz a soma 0,25 com apenas a entrada faltante para X=1, Y=2.

Passo 6

Agora, somando todas as probabilidades conhecidas:
Para X=0: 0 + 0 + 0 = 0
Para X=1: 0,1 + 0 + 0,05 = 0,15
Para X=2: 0,1 + 0,4 + 0,1 = 0,6
Para X=3: 0 + 0,1 + 0 = 0,1
Somando todas as linhas: 0 + 0,15 + 0,6 + 0,1 = 0,85
Como a soma total deve ser 1, temos:
0,85 + p = 1
Portanto:
p = 1 - 0,85 = 0,15

Resposta

O valor de p é 0,15.

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